2.2. МАТЕРИАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ

2.2.1. Показатель преломления объемной среды: теория

На распространение электромагнитных волн в прозрачных материалах оказывает влияние их взаимодействие с молекулами среды. Поскольку такое взаимодействие зависит от частоты, то и скорость распространения электромагнитных волн также зависит от частоты: говорят, что материал обладает дисперсией. Одним из проявлений такой дисперсии является уширение коротких световых импульсов при их распространении в диспергирующей среде. Величина уширения пропорциональна ширине спектра импульса и является другим важным фактором, который ограничивает полосу пропускания оптических волокон.

В оптике обычно имеют дело с показателем преломления среды Он показывает, во сколько раз уменьшается фазовая скорость волны, распространяющейся в данной среде, по сравнению с фазовой скоростью с в вакууме

Другая особенность оптики состоит в том, что, начиная с момента зарождения оптики как науки в XVI веке, при описании источников оптического излучения используют не частоту а длину волны , излучаемых колебаний. Это приводит к понятию длины волны в свободном пространстве При распространении колебаний в преломляющей среде длина волны уменьшается до причем

и

Будем описывать электромагнитную волну частотой распространяющуюся через преломляющую среду вдоль оси в виде проекции амплитуды электрической составляющей поля на ось х, как действительной части т. е.

где постоянная поля; коэффициент распространения в среде; угловая частота волны,

Выражение (2.2.4) описывает плоскую волну, распространяющуюся в объемном материале. Будем полагать, что волна линейно

поляризована и вектср электрического поля совмещен с плоскостью Фазовая скорость такой волны равна следовательно,

откуда

Если при прохождении через среду волна ослабляется, то это можно учесть введением коэффициента поглощения а, так что

Можно учесть затухание волны путем введения комплексного показателя преломления среды

Таким образом, действительная часть показателя преломления все еще определяется выражением (2.2.6), в то время как мнимая часть становится равной

Ниже будет показано, что те же самые процессы, которые приводят к зависимости показателя преломления среды от частоты, вызывают также и затухание в среде электромагнитных волн. Таким образом, показатель преломления дисперсионной ереды является комплексным и зависит от частоты. Указанные физические процессы легко рассмотреть на примере диэлектриков, однако количественный теоретический анализ для любой, даже простейшей среды становится неимоверно сложным.

Электрическая составляющая поля распространяющейся в диэлектрике оптической электромагнитной волны поляризует его молекулы, в результате чего они или их электронные структуры начинают колебаться с частотой волны. Колеблющиеся заряды излучают новые волны той же частоты, которые интерферируют с породившей их волной таким образом, что результирующая волна получает суммарный фазовый сдвиг относительно исходной волны. Поскольку эти эффекты происходят непрерывно во времени, общий фазовый сдвиг оказывается пропорциональным пройденному волной расстоянию. Это приводит к тому, что волна распространяется в среде с меньшей фазовой скоростью.

Взаимодействие волны с молекулами среды происходит в виде последовательности затухающих гармонических резонансов. На частоте выше резонансной колебание отдельного атомного или электронного

заряда больше не соответствует колебаниям электрического поля. Среда уже не поляризуется описанным образом, в результате чего на частотах выше резонансной показатель преломления уменьшается по сравнению со своим значением при резонансе.

Влияние электрического поля на поляризуемость диэлектрического материала обычно выражают с помощью относительной диэлектрической постоянной или диэлектрической проницаемости среды. Показатель преломления, обусловленный поляризацией материала на высоких частотах, может быть легко связан с диэлектрической проницаемостью материала на этих частотах. Как известно из теории электромагнитных волн, фазовая скорость электромагнитных волн, распространяющихся в среде, имеющей относительную магнитную проницаемость и относительную диэлектрическую проницаемость определяется выражением

где соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства. Следовательно, цгег, а поскольку магнитные эффекты в диэлектриках обычно ничтожно малы, то можно принять и в результате получить следующую практическую формулу

Более подробно этот вопрос рассмотрен в Приложении 1.

Теперь нам необходима теория, которая описывала бы зависимость а следовательно, и от частоты в оптическом диапазоне. Рассмотрение такой теории приводится во многих учебниках по электромагнетизму, оптике и физике твердого тела, и они рекомендуются читателю для более глубокого изучения вопроса.

При анализе этого вопроса сначала вводят понятие поляризуемости отдельной молекулы материала, обозначаемой а. Это означает, что электрический дипольный момент возникающий в направлении оси х под действием локального электрического поля будет равен

В газе, содержащем молекул в единице объема, объемная поляризация среды определяется выражением:

Теперь относительную диэлектрическую проницаемость можно определить следующим образом:

Таким образом, окончательно получаем

В случае твердого диэлектрика необходимо учитывать влияние, оказываемое на степень поляризации каждой отдельной молекулы окружающими ее молекулами. При использовании простейшего приближения, которое оказывается точным для идеальной кубической решетки, полагают, что каждая поляризуемая молекула представляет собой сферическую замкнутую полость в однородном диэлектрике. При этом под действием среднего поля локальное поле увеличится в раз. Следовательно, поляризация диэлектрика будет равна

Результирующую относительную диэлектрическую проницаемость при этом получаем путем подстановки (2.2.16) в (2.2.14):

Этот результат иногда выражают в иной форме, предложенной Моссотти,

На рис. 2.8 приведена зависимость средней молекулярной поляризуемости а (а следовательно, и средней степени поляризации в единице объема от частоты возбуждающего электрического поля. Энергетические переходы, соответствующие частотам радиодиапазона, обусловлены быстро затухающими эффектами переориентации молекул и не играют заметной роли в интересующей нас области спектра.

Рис. 2.8. Схематическое изображение зависимости поляризации диэлектрического материала от частоты, учитывающее отдельные атомные и электронные резонансы

Другие переходы являются результатом описанных ранее резонансных явлений. При этом высокочастотные эффекты возникают вследствие отклика электронной структуры молекул на поле, частота которого лежит в оптическом диапазоне спектра. На практике наблюдается ряд таких резонансов в ультрафиолетовой части спектра. Выделяемый низкочастотный переход обусловлен движением молекулы в ответ на воздействие оптического поля. Это колебания решетки, возбуждаемые электрическим полем с частотой, соответствующей иноракрасному участку спектра. В рассматриваемых резонансных явлениях смещаемый в процессе взаимодействия с электрическим полем и приводящий к появлению поляризации заряд подвергается воздействию восстанавливающей силы, величина которой пропорциональна смещению заряда. В таком случае движущийся заряд представляет собой гармонический осциллятор. Электрическое поле в направлении оси х, создаваемое электромагнитной волной в данной точке материала, определяется путем подстановки в (2.2.7) значения и может быть выражено в виде реальной части где — постоянная поля.

В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее смещение х, заряд и массу электрона, находящегося под воздействием электрического поля, имеет вид

где резонансная частота данного взаимодействия, а у — коэффициент затухания, учитывающий диссипативные эффекты, связанные с этим взаимодействием и являющиеся результатом излучательных потерь и соударений.

Решение этого уравнения для случая вынужденных затухающих колебаний имеет вид

Теперь видно, что поляризуемость молекулы становится комплексной функцией частоты. Обозначим ее а, причем

Аналогично этому и относительная диэлектрическая проницаемость будет комплексной функцией частоты. Она может быть найдена подстановкой выражения (2.2.21), описывающего поляризуемость атома, в (2.2.17)

Если учесть все возможные резонансы и представить силу (напряженность поля) каждого из них коэффициентом (который появляется при квантово-механическом подходе к данной проблеме), тогда как функция частоты будет равна

Ясно, что теперь и показатель преломления тоже становится комплексным

и мы получаем

В интересующих нас материалах затухание должно быть очень малым, поэтому рассмотрим только частоты, далеко отстоящие от резонансных, где справедливо предположение . В таком случае

а

На рис. 2.9 приведены зависимости действительной и мнимой частей от частоты для случая идеального диэлектрика. Вдали от резонансных частот влияние мнимой части может быть незначительным, и тогда показатель преломления можно записать таким образом:

Обычно изменение показателя преломления оптических материалов выражают в виде (2.2.27), известном как дисперсионная формула Селмейера. Одним из любопытных фактов истории науки является то, что основные идеи приведенного анализа впервые были высказаны Максвеллом в 1869 г. во время сдачи экзамена по математике в Кембридже. Позднее, в 1872 г., независимо пришел к выражению (2.2.27) В. Селмейер в ряде своих статей, опубликованных в Annalen der

Рис. 2.9. Схематическое изображение зависимостей от частоты действительной и мнимой частей показателя преломления диэлектрического материала, иллюстрирующих атомные и электронные резонансы

Physik und Chemie. Впоследствии оно было неоднократно получено при использовании, по-видимому, более сложных моделей диэлектрика, однако основная идея теории дисперсии в этих моделях остается неизменной, а именно, поведение упруго связанного заряда в высокочастотном электрическом поле.

Превосходное соответствие теории экспериментальным данным обычно наблюдают при учете трех членов дисперсионной формулы, два из которых соответствуют электронным резонансам в ультрафиолетовой области спектра, а один возникает вследствие атомного резонанса в инфракрасной области.

Выражение (2.2.27) оказывается слишком громоздким для анализа, а поскольку рассматриваются значения весьма удаленные от значений то можно аппроксимировать уравнение Селмейера полиномом по степеням . В результате получаем

Для слагаемых, для которых выполняется условие подставим и предположим, что Тогда воспользовавшись биноминальным разложением, находим

В те слагаемые, где подставим и предположим Опять используя биноминальное разложение, можно написать

Таким образом, уравнение (2.2.27) принимает следующий вид:

где

Как видно из рис. 2.9, в оптических участках спектра, достаточно удаленных от резонансов, следует предполагать, что будет медленно увеличиваться с ростом частоты электрического поля и, следовательно, будет медленно уменьшаться с увеличением его длины волны. Таким образом, в интересующих нас областях спектра производная будет малой по величине и отрицательной по знаку. Из рис. 2.9 также видно, что имеет место тесная связь между дисперсией (областями, где изменяется при изменении частоты поля) и поглощением (областями, где становится значительным по величине). Эта связь носит фундаментальный характер. В любой линейной стационарной физически реализуемой системе, в которой ограниченное по величине входное воздействие порождает также ограниченный по величине отклик, мнимая часть передаточной функции может быть всегда однозначно определена по известной реальной части передаточной

функции, и наоборот. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса-Кронига, в то время как инженерам-электрикам они стали известны из книги Боде.

Этот параграф был посвящен рассмотрению теоретических основ явления дисперсии в диэлектриках. В следующем параграфе будут представлены экспериментальные результаты по изучению дисперсии в материалах, используемых для изготовления оптических волокон, из которых будет видно хорошее соответствие с рассмотренной теорией. В последних параграфах будет исследовано влияние зависимости показателя преломления от частоты на скорость передачи сигналов, достижимую в оптических волокнах при использовании различных частот.