ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». Мы не сочли целесообразным, в отличие от действующей сейчас программы, отрывать изучение рядов Фурье от изучения функциональных рядов. Кроме того, мы считали полезным до изучения общей теории числовых и функциональных рядов получить разложение в степенные ряды основных элементарных функций — это позволяет студентам заранее приобрести общую ориентировку в вопросах, с которыми им предстоит познакомиться.

Первая глава книги содержит основные понятия о рядах и доказательство свойств сходящихся рядов, а также вывод формул для разложения элементарных функций в степенные ряды.

Вторая глава посвящена числовым рядам. Отметим упрощение доказательств теоремы об умножении рядов и теоремы Лейбница, для последней доказательство непосредственно сводится к теореме о стягивающейся системе отрезков (иной формулировкой, которой она и является). Одновременно рассматриваются числовые ряды в комплексной области.

Третья и четвертая главы посвящены функциональным и, в частности, степенным рядам как в действительной, так и в комплексной областях. Вопрос о равномерной сходимости последовательностей функций изложен на основе понятия о чебышевском расстоянии между функциями, что позволило упростить как формулировку самого понятия равномерной сходимости, так и доказательство основных теорем. Отметим доказательство теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда в комплексной области. Ради упрощения курса мы не рассматриваем формулу Коши — Адамара, поскольку формулировка соответствующего утверждения потребовала бы включения в курс понятия верхнего предела последовательности, тогда как сама эта формула практически используется редко.

Последняя глава книги посвящена изучению рядов Фурье, доведенному до теоремы о сходимости ряда Фурье кусочно-гладкой функции. Заключительная часть этого раздела, связанная с

ортонормированными базисами в гильбертовом пространстве, изложена в §20 книги Н. Я. Виленкина, М. Б. Балка и В. А. Петрова «Математический анализ. Мощность, метрика, интеграл», выпущенной издательством «Просвещение» в 1980 г.

Предлагаемая книга входит в серию учебных пособий для студентов-заочников по математическому анализу, выходящих под общим руководством профессора Н. Я. Виленкина (ранее опубликованы книги «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Мощность, метрика, интеграл»). В основу книги легли лекции, неоднократно читавшиеся авторами студентам МГЗПИ. Ранее был издан ротапринтный вариант этой книги. Теоретическая .часть настоящего пособия написана Н. Я. Виленкиным и В. В. Цукерманом. Упражнения составлены М. А. Доброхотовой, А. Н. Сафоновым и В. В. Цукерманом.

Книга разбита на главы, параграфы и пункты. Нумерация теорем, лемм, примеров и формул сплошная в пределах каждого параграфа. Почти все параграфы снабжены упражнениями и вопросами для самопроверки.

Авторы выражают глубокую благодарность за тщательное рецензирование, способствовавшее улучшению рукописи, профессору М. И. Граеву и доцентам А. С. Симонову, В. А. Тоняну и П. П. Мосолову (ротапринтный вариант), а также кафедре математического анализа Тульского педагогического института им. Л. Н. Толстого.

Авторы просят присылать отзывы и замечания по адресу: Москва, 129846, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Просвещение», редакция математики.