3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности.

Определение 11.2. Последовательность функций, ограниченных на множестве X, называется равномерно сходящейся на этом множестве к функции если числовая последовательность стремится к нулю, т. е.

Это понятие имеет простой геометрический смысл. Начертим график функции и сместим его на вверх и вниз. Получим кривые ограничивающие криволинейную полосу (рис. 5). Последовательность , равномерно сходится на X к если для любого графики всех членов этой последовательности попадают, начиная с некоторого номера, в такую криволинейную полосу.

Теорема 11.1. Если функциональная последовательность равномерно сходится на X к то для любого числовая последовательность сходится к

В самом деле, имеет место неравенство как то и а это и значит, что

Рис. 5

Пример 11.5. Найдем предел функциональной последовательности, общий член которой равен и исследуем характер сходимости.

Решение. Для каждого значения

при для всех Таким образом, пределом функциональной последовательности на является функция

Найдем чебышевское расстояние

Для исследования поведения вычислим производную:

На интервале а на Следовательно, на — функция возрастает, а на убывает, и потому наибольшее значение, равное достигается в точке Это и есть Так как

то функциональная последовательность равномерно сходится к

Пример 11.6. Выясним характер сходимости к своему пределу функциональной последовательности где

Решение. В примере 11.4 было показано, что где

При этом Так как не выполняется условие сходимость последовательности не является равномерной.