3. Метод последовательных приближений.

Этот вопрос не относится к теме «Степенные ряды», но рассматривается здесь, чтсбы сосредоточить в одном месте различные приложения рядов.

Приближенное решение уравнений вида во многих случаях удается осуществить следующим образом. Выбираем какое-нибудь приближенное значение корня уравнения и подставляем его вместо х в правую часть равенства. Находим значение . Затем вычисляем Если существует и функция непрерывна, то, переходя к пределу в равенстве получаем, что , т. е. что с — корень искомого уравнения.

Описанный метод оказывается пригодным лишь при некоторых дополнительных требованиях, предъявляемых к функции

Определение 17.1. Функция заданная на отрезке называется сжимающей, если

а) образ отрезка является подмножеством этого отрезка:

б) существует такое число что и для любых чисел из выполняется неравенство

Отметим, что в силу теоремы Лагранжа условие б) выполняется, если функция дифференцируема на причем

В самом деле, в этом случае для любых из имеем:

Теорема 17.1. Если непрерывная функция является сжимающей на отрезке то на существует единственное число с, такое, что Это число является пределом последовательности где — любая точка отрезка

Доказательство. Числа являются частичными суммами ряда:

Докажем, что этот ряд абсолютно сходится. В самом деле, для любого имеем:

Значит, для всех выполняется неравенство где и по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами ряд:

сходится, а тогда ряд (X) абсолютно сходится.

Обозначим через с сумму ряда (X). Тогда Докажем, что Переходя к пределу в равенстве и учитывая, что в силу непрерывности получаем

Нам осталось доказать, что на отрезке нет иных решений уравнения кроме Если предположить, что — такое решение, т. е. что , то мы имели бы

где , чего не может быть.

Пример 17.4. Решим уравнение с точностью до 0,001.

Здесь Так как то уравнение имеет корень на отрезке [1; 4]. На этом отрезке , кроме того,

Поэтому можно применить метод последовательных приближений. Положим Тогда .

Продолжая этот процесс, находим, что Абсолютная погрешность при замене корня уравнения приближенным значением равна:

В рассматриваемом случае

Итак, с точностью до 0,001 корень уравнения равен 3,353. Других корней уравнение не имеет.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)