5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.
Пользуясь понятием равномерной сходимости, сформулируем достаточное условие для того, чтобы предел последовательности непрерывных функций был непрерывной функцией.
Теорема 11.3. Пусть все члены последовательности 
непрерывны на множестве X, и пусть эта последовательность равномерно сходится на X к функции 
Тогда функция 
непрерывна на X.
Доказательство. Пусть 
. Зададим 
Так как 
то найдется такое 
что 
и потому для всех 
выполняется неравенство 
Далее, так как функция 
непрерывна, то найдется такое 
что при 
выполняется неравенство
Но тогда для любого х, такого, что 
имеем:
Это и значит, что функция 
непрерывна в точке 
Так как 
— любая точка из X, то 
непрерывна на X.
Следствие. Если все члены функционального ряда 
непрерывны на множестве X и этот ряд равномерно сходится на X к функции 
, то 
непрерывна на X.
В самом деле, из условия вытекает, что все частичные суммы 
данного ряда непрерывны на X как суммы конечного числа непрерывных функций, причем последовательность 
равномерно сходится на X к 
По теореме 11.3 функция 
непрерывна на X.
Пример. 11.9. Функция 
непрерывна на всей числовой прямой, так как ряд 
состоит из непрерывных функций и равномерно сходится на всей числовой прямой.
