Главная > Ряды (Математический анализ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.

Пользуясь понятием равномерной сходимости, сформулируем достаточное условие для того, чтобы предел последовательности непрерывных функций был непрерывной функцией.

Теорема 11.3. Пусть все члены последовательности непрерывны на множестве X, и пусть эта последовательность равномерно сходится на X к функции Тогда функция непрерывна на X.

Доказательство. Пусть . Зададим Так как то найдется такое что и потому для всех выполняется неравенство

Далее, так как функция непрерывна, то найдется такое что при выполняется неравенство

Но тогда для любого х, такого, что имеем:

Это и значит, что функция непрерывна в точке Так как — любая точка из X, то непрерывна на X.

Следствие. Если все члены функционального ряда непрерывны на множестве X и этот ряд равномерно сходится на X к функции , то непрерывна на X.

В самом деле, из условия вытекает, что все частичные суммы данного ряда непрерывны на X как суммы конечного числа непрерывных функций, причем последовательность равномерно сходится на X к По теореме 11.3 функция непрерывна на X.

Пример. 11.9. Функция непрерывна на всей числовой прямой, так как ряд состоит из непрерывных функций и равномерно сходится на всей числовой прямой.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru