2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера.

Функции тоже определяются как суммы степенных рядов:

полученных из разложений функций по степеням х в действительной области (см. гл. I) с помощью замены х на комплексное число 2. Ряды (16.2) и (16.3) также сходятся при всех значениях 2. При этом так как все члены в ряде (16.3) имеют четные степени, Для функций остаются справедливыми формулы дифференцирования

Например,

Заменим в разложении (16.1) переменную на

Получим, что

Итак, мы доказали формулу

из которой следует, что

Складывая равенства (16.4) и (16.5) и деля на 2, получаем, что

Аналогично выводится равенство

Формулы (16.4) — (16.7) называют формулами Эйлера. Они устанавливают связь между показательной и тригонометрическими функциями в комплексной области.

Из формулы (16.4) вытекает, что

При получаем, что Значит, для любого имеем:

Таким образом, показательная функция имеет в комплексной области период

Связь между показательной и тригонометрическими функциями позволяет просто доказывать различные тождества для тригонометрических функций.

Пример 16.1. Возводя равенство в куб, получаем, что, с одной стороны,

с другой стороны, Поэтому имеем:

Точно так же можно получить общие формулы для выражающие их в виде многочленов от

Пример 16.2. Установим формулу Муавра

Решение. Действительно, поскольку то

что и требовалось доказать.

Пример 16.3. Разложим в ряд по степеням х функции

Решение. Имеем:

Используя определение найдем:

при этом, как и ранее, полагаем

Преобразуем с помощью формулы Муавра величину Имеем:

Тогда:

Подставляя это выражение в формулу (16.8), находим:

Приравнивая действительные и мнимые части в левой и правой частях равенства, окончательно получаем:

Пример 16.4. Убедимся в справедливости формулы

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера

что и требовалось доказать.

Пример 16.5. Докажем, что

Решение. Заменим в формуле для значение на Получим:

В силу четности и нечетности найдем:

тем самым попутно выведена формула для косинуса разности аргументов. Положим в полученной формуле Тогда , следовательно, требуемое равенство получено.

Пример 16.6. Гиперболические функции. Так называются функции

(гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс); функции определены на всей комплексной плоскости, там, где соответственно или не обращались в нуль. Покажем, что

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера

Таким образом, первые две формулы установлены. Применим их для проверки остальных. Заменим в доказанных формулах на Полечим:

Но , и тогда в силу четности косинуса и нечетности синуса найдем:

Этим доказательство формул завершено.

Пример 16.7. Выделим действительную и мнимую части функции в комплексной области.

Решение. Пусть где и у действительные числа. Имеем:

Это и есть искомое разложение.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)