Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области.
Теорема о почленном дифференцировании степенных рядов (теорема 15.2.) была доказана для случая действительной переменной. Проведем более общее доказательство для комплексной области.
Теорема 15.3. Степенной ряд имеющий радиус сходимости можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости.
Доказательство. Пусть Выберем такое что и положим Тогда для любого комплексного числа А, такого, что имеем:
Пусть сумма ряда равна Тогда:
где
Так как и при имеем то
По теореме 14.4 ряд сходится при Значит, по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится в круге и его сумма непрерывна в этом круге. Поэтому
Но тогда:
Так как — любая точка внутри круга сходимости, то теорема доказана.
имеющий радиус сходимости 
можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости.
Выберем такое 
что 
и положим 
Тогда для любого комплексного числа А, такого, что 
имеем:
равна 
Тогда:
и при 
имеем 
то
сходится при 
Значит, по признаку Вейерштрасса ряд 
равномерно сходится в круге 
и его сумма непрерывна в этом круге. Поэтому
— любая точка внутри круга сходимости, то теорема доказана.
