§ 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Представление функции в виде суммы ряда вида называется разложением этой функции в степенной ряд. Для разложения функций в степенные ряды применяется формула Тейлора, которую мы сейчас докажем.

Теорема 4.1. Пусть функция имеет на отрезке производные до порядка включительно,

причем непрерывна на этом отрезке. Тогда для любого х из этого отрезка выполняется равенство

где

Равенство (4.1) называют формулой Тейлора, — остаточным членом этой формулы, а выражение (4.2) — интегральной формой остаточного члена формулы Тейлора. Отметим, что из существования на отрезке производных функции до порядка включительно вытекает непрерывность функций на этом отрезке.

Доказательство. Из формулы Ньютона — Лейбница следует, что и потому

Поскольку переменной интегрирования является мы считаем значение х постоянным. Но тогда Интегрируя по частям в формуле (4.3) и полагая получаем:

Но при выражение обращается в нуль, и потому

Полученное выражение совпадает с (4.1), (4.2) при Предположим теперь, что равенства (4.1), (4.2) доказаны при т. е. что доказано соотношение

Предполагая существование и непрерывность положим

то получаем:

Это и значит, что равенства (4.1), (4.2) верны при Поскольку равенства (4.1), (4.2) верны при и из их справедливости при следует, что они верны при то они верны для всех Формулы (4.1), (4.2) доказаны.

Пример 4.1. Применим к функции формулу Тейлора при и вычислим с точностью до

Решение. Вычислим производные функции

В точке имеем:

При получим:

При

При получаем разложение функции по степеням поскольку тождественно обращается в нуль:

Легко непосредственно проверить, что

Последнее слагаемое в разложении при равно Предыдущее слагаемое при равно Для вычисления с точностью можно отбросить лишь последнее слагаемое. Имеем:

с точностью до . В данном примере мы фактически знаем больше: истинное значение превышает найденное на (на величину отброшенного члена).

Замечание. Использование формулы Тейлора для многочлена степени при дает разложение многочлена по степеням так как в силу того, что

Пример 4.2. Напишем формулу Тейлора при и выражение остаточного члена для

Дадим оценку на отрезке [0; 1].

Решение. Имеем:

Отсюда:

Искомая формула имеет вид:

или

где

Подынтегральная функция положительна и, кроме того, (так как ). Следовательно,

Таким образом, вычисление функции на отрезке [0; 1] по приближенной формуле

дает ее значение с избытком и ошибка не превышает величины

Пример 4.3. Найдем четвертый коэффициент в формуле Тейлора функции при дадим оценку остаточного члена на отрезке

Решение. Как мы видели (см. пример 4.2),

Отсюда и четвертый коэффициент

в формуле Тейлора равен:

Для имеет место выражение

(ср. с примером 4.2). Функция монотонно убывает на отрезке и достигает наибольшего значения при т. е.

Следовательно, имеет место оценка

и поэтому

Пример 4.4. Выясним, при каком наибольшем значении можно записать формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для функции при и найдем соответствующую формулу Тейлора.

Решение. В точке функция имеет производные до порядка включительно, и все эти производные равны нулю. Производные более высоких порядков в точке не существуют. Так как значение функции в точке также равно нулю, то искомая формула Тейлора принимает вид Пример 4.5. Выясним происхождение формулы

и укажем тот промежуток значений х, на котором эта приближенная формула имеет место с точностью до 0,00005.

Решение. Поскольку записанная формула представляет

собой разложение по степеням х, найдем для сравнения с ней формулу Тейлора для функции при

Имеем:

Отсюда:

Таким образом, часть формулы Тейлора без остаточного члена и при и при совпадает с исходной формулой. Мы примем так как при этом получается лучшая оценка остаточного члена. Итак,

где

Таким образом, абсолютная погрешность записанной в условии задачи формулы следует из оценки Так как , то получим:

Чтобы абсолютная погрешность была меньше 0,00005, достаточно потребовать выполнения неравенства

Решая это неравенство, получим т. е. указанная точность приближения обеспечивается значениями, удовлетворяющими неравенству

Замечание. Так как использованная нами оценка остаточного члена дана «с запасом», то мы получили не наибольший промежуток, в котором обеспечивается требуемая точность нашей приближенной формулы для Эта точность может быть достигнута и в несколько более широком промежутке.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)