Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРАПредставление функции Теорема 4.1. Пусть функция причем
где
Равенство (4.1) называют формулой Тейлора, Доказательство. Из формулы Ньютона — Лейбница следует, что
Поскольку переменной интегрирования является
Но при
Полученное выражение совпадает с (4.1), (4.2) при
Предполагая существование и непрерывность
то получаем:
Это и значит, что равенства (4.1), (4.2) верны при Пример 4.1. Применим к функции Решение. Вычислим производные функции
В точке
При
При
При
Легко непосредственно проверить, что
Последнее слагаемое в разложении
с точностью до Замечание. Использование формулы Тейлора для многочлена Пример 4.2. Напишем формулу Тейлора при Дадим оценку Решение. Имеем:
Отсюда:
Искомая формула имеет вид:
или
где
Подынтегральная функция положительна и, кроме того,
Таким образом, вычисление функции
дает ее значение с избытком и ошибка не превышает величины Пример 4.3. Найдем четвертый коэффициент в формуле Тейлора функции Решение. Как мы видели (см. пример 4.2), Отсюда в формуле Тейлора равен:
Для
(ср. с примером 4.2). Функция
Следовательно, имеет место оценка
и поэтому
Пример 4.4. Выясним, при каком наибольшем значении Решение. В точке
и укажем тот промежуток значений х, на котором эта приближенная формула имеет место с точностью до 0,00005. Решение. Поскольку записанная формула представляет собой разложение по степеням х, найдем для сравнения с ней формулу Тейлора для функции Имеем:
Отсюда:
Таким образом, часть формулы Тейлора без остаточного члена и при
где
Таким образом, абсолютная погрешность записанной в условии задачи формулы следует из оценки
Чтобы абсолютная погрешность была меньше 0,00005, достаточно потребовать выполнения неравенства
Решая это неравенство, получим
Замечание. Так как использованная нами оценка остаточного члена дана «с запасом», то мы получили не наибольший промежуток, в котором обеспечивается требуемая точность нашей приближенной формулы для Вопросы для самоконтроля(см. скан) Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|