3. Единственность разложения функции в степенной ряд.

Выясним теперь, могут ли два различных степенных ряда и иметь одну и ту же сумму в каком-нибудь круге. Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 15.4. Пусть функция является в круге суммой степенного ряда

Тогда для любого выполняется равенство является рядом Тейлора для

Доказательство. Из равенства (15.1) получаем, что Далее, дифференцируя почленно это равенство (что возможно в силу теоремы 15.3), получаем соотношения

Из них находим, что

и потому для любого имеем Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Однако может случиться, что функция бесконечно дифференцируема но не раскладывается в степенной ряд с центром в некоторой точке, так как ее ряд Тейлора сходится не к ней, а к другой функции (см. пример 5.2). Такого положения не может быть, однако, для случая с комплексным переменным. Это доказывается в теории аналитических функций.

Приме Вычислим производную функции при

Решение. Непосредственное вычисление здесь затруднительно. Воспользуемся полученным в § 5 разложением функции в ряд по степеням

т. е.

В силу теоремы Следовательно, Итак,

где принято соглашение считать

Пример 15.5. Разложение функции в ряд по степеням хуже рассматривалось в упражнении 38. Получим теперь это разложение, дифференцируя функцию и пользуясь единственностью разложения функции в степенной ряд.

Решение. Дифференцируя равенство и освобождаясь от знаменателя, получаем Беря еще раз производную и опять освобождаясь от знаменателя, приходим к равенству

Разложение функции ищем в виде:

Так как для степенных рядов допустимо почленное дифференцирование, то

Подставляя эти выражения в соотношение (15.2), приходим к равенству

Группируя члены по степеням х, получаем:

В силу единственности разложения функции в степенной ряд при всех имеет место равенство:

Следовательно, зная можно найти значения всех остальных коэффициентов Разложение должно совпадать с рядом Тейлора при Поэтому равны значениям Отсюда следуют равенства:

Методом индукции легко доказать, что

Следовательно,

Этот способ разложения оказался более трудным, чем использованный в главе I метод почленного интегрирования ряда. Более того, с помощью почленного интегрирования легко устанавливается, что разложение имеет место при а здесь это доказывается труднее. Однако проведенный прием оказывается очень эффективным при решении многих задач (см., например, упражнение 88, а).

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)