2. Признаки сходимости Даламбера и Коши.

Чаще всего сравнивают ряды с суммами бесконечных убывающих прогрессий. Имеет место следующая теорема:

Теорема 6.4 (признак Даламбера). Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

Тогда:

если то ряд сходится,

если то ряд расходится,

если то возможны как сходимость, так и расходимость ряда.

Доказательство. Пусть Выберем такое что Так как то, начиная с некоторого номера будет выполняться неравенство Но тогда при имеем и потому лемму 5.1). Таким образом, все члены заданного ряда, начиная с не превосходят членов геометрической прогрессии которая сходится, поскольку

Значит, по признаку сравнения сходится и заданный ряд.

Рассмотрим теперь случай, когда . В этом случае, начиная с некоторого значения будет выполняться неравенство Это значит, что т. е. члены ряда не убывают, а потому не могут стремиться к нулю (напомним, что все Поэтому ряд расходится.

Покажем, наконец, что при ряд может как сходиться, так и расходиться. Для этого заметим, что при любом значении а имеем:

Поэтому для любого ряда вида — выполнено равенство Но при этот ряд расходится, а при сходится.

Пример 6.4. Докажем сходимость ряда . Для этого ряда имеем

Значит,

Так как то ряд сходится.

Другим признаком сходимости рядов с положительными членами, основанным на сравнении с суммой геометрической прогрессии, является так называемый радикальный признак сходимости Коши.

Теорема 6.5. Пусть все члены ряда

положительны и пусть существует предел Тогда:

а) если то ряд сходится;

б) если то ряд расходится;

в) если то возможны как сходимость, и расходимость ряда.

Доказательство. Пусть Выберем число такое, что Так как то, начиная с некоторого значения будет выполняться неравенство Значит, начиная с некоторого номера члены ряда меньше, чем члены прогрессии со знаменателем причем Так как сумма такой прогрессии — сходящийся ряд, то и заданный ряд сходится.

Если то, начиная с некоторого, номера выполняется неравенство Из него следует, что т. е. что члены ряда не стремятся к нулю. Поэтому ряд расходится.

Легко убедиться, что при любом а имеем Поэтому для рядов вида — всегда Но такие ряды могут как сходиться, так и расходиться. Теорема доказана.