§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА

1. Ряд Тейлора.

Формула (4.1) дает представление функции в виде суммы конечного множества слагаемых. Если функция имеет на производные любого порядка, причем на этом отрезке выполняется соотношение то можно перейти в формуле Тейлора к пределу при Мы получим, что

т. е. что

Ряд, стоящий в правой части формулы (5.1), называется рядом Тейлора функции Он зависит не только от этой функции, но и от выбора значения Если то ряд Тейлора принимает вид:

Непосредственно проверить, что для всех х из отрезка иногда бывает затруднительно. Поэтому нужно вывести признак того, что на нем выполняется равенство (5.1), т. е. что функция равна на нем сумме своего ряда Тейлора. Сначала докажем следующую лемму:

Лемма 5.1. Пусть последовательность состоит из положительных чисел и пусть существует такое число что и для всех выполняется неравенство Тогда для всех имеем

Доказательство. По условию леммы выполняется неравенство Предположим теперь, что доказано неравенство

ство Тогда по условию леммы и потому

Итак, неравенство выполняется при и из его выполнения при следует, что оно выполняется и при Значит, это неравенство верно для всех

Поскольку то из неравенств следует, что

и потому

Утверждение, что остается справедливым и в случае, когда неравенство выполняется не для всех а лишь начиная с некоторого значения . В самом деле, если от последовательности отбросить первые членов, то ее предел не изменится.

Пример 5.1. Докажем, что для любого х выполняется равенство

В самом деле, имеем:

Но если то Значит,

Признак сходимости ряда Тейлора к разлагаемой функции формулируется следующим образом:

Теорема 5.1. Пусть функция бесконечно дифференцируема на и пусть существует такое число что для всех х из этого отрезка и всех выполняется неравенство . Тогда функция является на суммой своего ряда Тейлора.

Иными словами, в этом случае для всех

Доказательство. Для любого и любого выполняется равенство

Но по условию теоремы имеем . Поэтому

Как было показано в примере следовательно, для любого имеем а это и значит, что функция является на суммой своего ряда Тейлора.

Пример 5.2. Найдем ряд Тейлора для функции

Решение. Прежде всего необходимо доказать существование всех производных функции при и вычислить эти производные. Напомним, что при любом

При это очевидно, а для результат устанавливается с помощью правила Лопиталя. Если — натуральное число, то, применяя правило Лопиталя раз, получим:

Если не является целым числом, то правило Лопиталя нужно применить раз, где . В этом случае имеем:

так как

Найдем Имеем:

Если заменить 1 на то получим а потому при

Точно так же

Следовательно,

С помощью метода математической индукции можно доказать, что при любом имеем Значит, все члены ряда Тейлора равны нулю, и потому он сходится к функции, тождественно равной нулю, а не к в

Этот пример показывает, что даже в случае, когда функция имеет производные любого порядка в точке сумма ее ряда Тейлора в окрестности этой точки может совпадать с лишь при

В некоторых случаях разложение функции в степенной ряд легче получить не опираясь на теорему о ряде Тейлора.