4. Свойства условно сходящихся рядов.

Для условно сходящихся рядов не имеют места ни теорема о перестановке членов, ни теорема об умножении рядов.

Пример 8.9. Ряд:

сходится в силу признака Лейбница, причем его сумма положительна. Переставим его члены и сгруппируем их следующим образом:

Так как то получим ряд:

сумма которого вдвое меньше суммы ряда (8.6). Таким образом, перестановка членов ряда (8.6) уменьшила его сумму вдвое.

Имеет место следующая теорема Римана:

Теорема 8.5. Если ряд сходится условно, то

путем перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, а также расходящийся ряд.

Доказательство этой теоремы основано на следующем утверждении:

Если ряд сходится условно, то ряды Доказательство теоремы 8.2), составленные соответственно из его положительных членов и модулей отрицательных членов, расходятся.

В самом деле, так как сходится ряд то при сходимости ряда сходился бы и ряд , а тогда сходился бы и ряд вопреки условию.

Пользуясь расходимостью рядов и можно, поочередно беря слагаемые из этих рядов, получить сначала частичную сумму, которая больше выбранного числа а потом частичную сумму, которая меньше и т. д. Эти частичные суммы будут стремиться к , как можно показать, весь ряд будет сходиться к Детальное доказательство теоремы 8.5 мы опускаем.

Следующий пример показывает недопустимость умножения условно сходящихся рядов, производимого аналогично умножению конечных сумм.

Пример 8.10. Ряд:

сходится условно. Рассмотрим квадрат этого ряда по Коши:

Как нетрудно проверить,

и, таким образом,

Следовательно,

Но . Значит, члены ряда (8.6) не стремятся к нулю, и потому он расходится.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)