4. Свойства условно сходящихся рядов.
Для условно сходящихся рядов не имеют места ни теорема о перестановке членов, ни теорема об умножении рядов.
Пример 8.9. Ряд:
сходится в силу признака Лейбница, причем его сумма положительна. Переставим его члены и сгруппируем их следующим образом:
Так как 
то получим ряд:
сумма которого вдвое меньше суммы ряда (8.6). Таким образом, перестановка членов ряда (8.6) уменьшила его сумму вдвое.
Имеет место следующая теорема Римана:
Теорема 8.5. Если ряд 
сходится условно, то
путем перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, а также расходящийся ряд.
Доказательство этой теоремы основано на следующем утверждении:
Если ряд 
сходится условно, то ряды 
Доказательство теоремы 8.2), составленные соответственно из его положительных членов и модулей отрицательных членов, расходятся.
В самом деле, так как сходится ряд 
то при сходимости ряда 
сходился бы и ряд 
, а тогда сходился бы и ряд 
вопреки условию.
Пользуясь расходимостью рядов 
и 
можно, поочередно беря слагаемые из этих рядов, получить сначала частичную сумму, которая больше выбранного числа 
а потом частичную сумму, которая меньше 
и т. д. Эти частичные суммы будут стремиться к 
, как можно показать, весь ряд будет сходиться к 
Детальное доказательство теоремы 8.5 мы опускаем.
Следующий пример показывает недопустимость умножения условно сходящихся рядов, производимого аналогично умножению конечных сумм.
Пример 8.10. Ряд:
сходится условно. Рассмотрим квадрат этого ряда по Коши:
Как нетрудно проверить,
и, таким образом,
Следовательно,
Но 
. Значит, члены ряда (8.6) не стремятся к нулю, и потому он расходится.
Вопросы для самоконтроля
(см. скан)
