3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Свойства абсолютно сходящихся рядов аналогичны доказанным выше свойствам рядов с неотрицательными членами. Справедливы следующие утверждения:

Теорема 8.3. Ряд, полученный из абсолютно сходящегося ряда перестановкой членов, также абсолютно сходится, причем имеет ту же сумму, что и сходящийся ряд.

Теорема 8.4. Если ряды абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд, составленный из членов взятых в любом порядке. При этом сумма такого ряда равна произведению сумм данных рядов:

Теорема 8.3 следует из того, что при перестановке членов ряда переставляются и члены рядов с неотрицательными членами, разностью которых является ряд (см. доказательство теоремы 8.2). Поскольку при такой перестановке суммы этих рядов не меняются, то не меняется и сумма данного ряда. Для доказательства же теоремы 8.4 достаточно заметить, что поскольку сходятся ряды то сходится и ряд а потому ряд

абсолютно сходится. Но тогда его члены можно располагать в произвольном порядке. Так как то после перехода к пределу получаем, что

Исследование абсолютной сходимости проводится теми же методами, с помощью которых исследуются ряды с неотрицательными членами. В частности, используются признаки Даламбера и Коши (радикальный), причем применяется следующее обозначение:

или меньше единицы, то ряд сходится абсолютно, если больше единицы, то ряд расходится, а ряд не является абсолютно сходящимся.

В общем случае из расходимости ряда не следует расходимость ряда — он может сходиться условно. Однако если расходимость ряда установлена с помощью признаков Даламбера или Коши или С больше единицы), то это означает (см. доказательство этих признаков), что общий член ряда не стремится к нулю, т. е. и не стремится к нулю, и для ряда нарушается необходимый признак сходимости. Таким образом, из расходимости ряда установленной с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), следует расходимость ряда

Пример 8.5. Исследуем сходимость ряда

Решение. Для ряда составленного из абсолютных величин рассматриваемого ряда, общий член Применяем к ряду признак Даламбера

Ряд сходится абсолютно.

Пример 8.6. Исследуем сходимость ряда (А):

Решение. Так же как и в предыдущем примере, находим:

Это означает, что не стремится к нулю, но тогда не стремится к нулю и общий член ряда Следовательно, ряд расходится.

Пример 8.7. Исследуем сходимость ряда (А):

Решение. Применяем признак Коши (радикальный). Имеем:

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Пример 8.8. Исследуем сходимость ряда (А):

Решение. Так как последовательность монотонно убывает и стремится к нулю, то данный знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница. Чтобы выяснить, сходится ли он абсолютно или условно, образуем ряд Для этого ряда

и потому исследовать его сходимость по признаку Даламбера невозможно.

Применим к ряду интегральный признак сходимости. Имеем где Функция положительна

Монотонно убывает и стремится к Нулю при Не первообразная стремится к при Следовательно, ряд расходится. Поэтому ряд сходится условно.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)