2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.

Применим формулу (19.9) к тригонометрической системе функций. Система функций на любом отрезке как было показано выше, ортогональна, но не нормирована:

Поэтому:

Ряд Фурье функции по системе имеет вид задаются формулами (19.10).

Точно так же выводятся формулы для коэффициентов Фурье в случае, когда тригонометрическая система функций взята в виде . В этом случае

где

Если вместо отрезка взять отрезок то формулы (19.12) — (19.14) заменяются более общими:

а ряд Фурье принимает вид:

Пример 19.1. Вычислим коэффициенты Фурье функции на отрезке Мы имеем:

Значит, ряд Фурье имеет вид:

Сумма этого ряда равна лишь внутри промежутка На всей числовой оси он сходится не к функции а к функции, получаемой из периодическим продолжением с периодом . В точках вида ряд, как будет показано ниже, сходится к значению

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)