2. Почленное дифференцирование функциональных рядов.

Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов.

Теорема 12.3. Пусть выполнены условия функции имеют на отрезке непрерывные производные, последовательность функций равномерно сходится на функции а причем хотя бы для одного последовательность сходится. Тогда

а) последовательность сходится на к некоторой функции

б) производная от существует и Доказательство. По теореме Ньютона — Лейбница

Так как последовательность функций равномерно сходится на то по теореме 12.2

Кроме того, существует конечный предел который мы обозначим Значит,

Но последовательность равномерно на сходится к , и потому функция а непрерывна на Поэтому производная интеграла по х равна Так как — постоянное число, то правая, а следовательно и левая части равенства (12.4) имеют производную. Дифференцируя обе части равенства (12.4) по х, получаем, что

Отметим, что в силу равенства

и неравенств

имеем

и потому Значит, последовательность равномерно сходится на

Теорема 12.4. Пусть функциональный ряд сходится в некоторой точке отрезка и пусть при всех функции непрерывны на и ряд равномерно сходится на Тогда ряд сходится на отрезке и его сумма дифференцируема на отрезке причем (кратко говоря, ряд можно почленно дифференцировать, если после этого получится равномерно сходящийся ряд).

Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что функции имеют непрерывную производную на отрезке , причем последовательность функций равномерно сходится на к функции Из теоремы 12.3 вытекает, что ряд сходится на к функции причем Иными словами,

Теорема доказана.

Пример 12.2. Если почленно продифференцировать ряд получится ряд который равномерно сходится на всей числовой прямой. Значит, для суммы исходного ряда:

Пример 12.3. Выясним, применима ли теорема 12.4 к ряду

Решение. После почленного дифференцирования данного ряда получается равномерно сходящиися ряд Тем не менее теорема 12.4 неприменима в данном случае, так как ряд расходится при всех значениях х. Например, при получаем числовой ряд т. е. известный гармонический ряд. Расходимость ряда при любом следует из того, что а ряд расходится.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)