4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.

Определение 11.3. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся к функции на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к на X.

Для проверки того, сходится ли данный ряд равномерно к функции используется следующий признак Вейерштрасса:

Теорема 11.2. Пусть — функциональный ряд на множестве X. Если существует такой сходящийся ряд с неотрицательными членами, что для всех выполняется неравенство то ряд абсолютно и равномерно сходится на X.

Доказательство. Для любого выполняется неравенство Поэтому, в силу сходимости ряда и признака сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд сходится. Это и значит, что ряд абсолютно сходится на X. При этом для любого

Поэтому сумма ряда ограничена на X числом

Докажем теперь, что (расстояние существует, так как функции ограничены на X). Зададим любое число Так как ряд сходится, то его остаток гл стремится к нулю, а потому найдется такое что Но тогда имеем для всех

Поскольку неравенство (11.2) выполняется для всех , то и а это и значит, что для всех т. е. что Мы доказали равномерную и абсолютную сходимость ряда к

Пример 11.7. Для всех членов ряда при любом значении х выполняется неравенство Так как ряд с положительными членами сходится, то данный

функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой прямой.

Пример 11.8. Для всех членов ряда на отрезке [-1; 1] выполняется неравенство — Значит этот ряд равномерно и абсолютно сходится на отрезке .