§ 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда.

При определении суммы ряда мы писали Если отбросить от последовательности первых членов, то получившаяся последовательность будет иметь тот же предел Это значит, что если существует то для любого выполняется равенство

Теорема 2.1. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть Тогда, как мы видели, и Но а потому

Отсюда и следует, что

Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает, что, например, ряд расходится (его общий член не стремится к нулю). Следует иметь в виду, что стремление к нулю общего члена ряда является лишь необходимым признаком сходимости, но не является достаточным — общий член может стремиться к нулю и в некоторых расходящихся рядах. Например, ряд — при расходится (см. пример 1.4), хотя

Определение 2.1. Назовем остатком ряда ряд, полученный отбрасыванием первых слагаемых, т. е. ряд

Если этот ряд сходится, то его сумму обозначают Теорема 2.2. Если ряд сходится, то сходится и каждый его остаток, причем выполняются равенства где — сумма ряда. Обратно: если хотя бы один остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд.

Доказательство. Обозначим частичную сумму ряда через

Ясно, что

Если ряд сходится, то где — сумма этого ряда. Тогда имеем:

Мы доказали, что последовательность сходится к числу т. е. что сумма ряда равна Таким образом, и тогда

Обратно: если ряд сходится и его сумма равна то и потому ряд

сходится и его сумма равна

Следствие. Если ряд сходится, то

В самом деле, в этом случае

Пример 2.1. Для ряда найти величину и указать такое значение чтобы при имело место неравенство:

Воспользуемся решением примера 1.5 (там рассматривался этот же ряд). Мы имели:

Следовательно,

Решим неравенство

Имеем:

В качестве можно взять любое целое число, не меньшее чем 4999.

2. Свойства сходящихся рядов. Некоторые свойства числовых рядов непосредственно вытекают из соответствующих свойств числовых последовательностей:

а) Ряд не может иметь двух различных сумм.

Это следует из того, что последовательность частичных сумм не может иметь двух различных пределов.

б) Если данный ряд сходится, то и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, сходится и имеет ту же сумму, что данный ряд.

В самом деле, пусть первая группа состоит из слагаемых, вторая — из слагаемых, слагаемых, т. е. пусть после группировки получается такой ряд:

где

Тогда после группировки получится ряд, частичными суммами которого являются . В самом деле, частичная сумма ряда (2.1) состоит из скобок, в которые входят

члены от первого до т. е. до Поэтому она равна Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2.1) является подпоследовательностью для Отсюда следует, что если существует то и последовательность частичных сумм ряда (2.1) сходится к тому же пределу Свойство доказано.

Отметим, что утверждение, обратное утверждению б), неверно, поскольку после группировки членов расходящегося ряда может получиться сходящийся ряд.

Пример 2.2. Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Группируя члены этого ряда по два, получаем ряд из нулей

который, очевидно, сходится.

Поскольку последовательности являются функциями натурального аргумента, их можно складывать, умножать и т. д. В связи с этим можно говорить о сумме рядов т. е. о ряде Умножении всех членов ряда на данное число т. е. о ряде Докажем следующие теоремы.

Теорема 2.3. Пусть ряды сходятся и имеют соответственно суммы . Тогда сходится и ряд причем его сумма равна .

Доказательство. Найдем частичную сумму ряда

Переставляя слагаемые, получаем, что

где частичная сумма ряда а частичная сумма ряда В силу теоремы о пределе суммы существует причем

Теорема 2.4. Если ряд сходится и его сумма равна то сходится и ряд причем его сумма равна

Доказательство. Ясно, что частичная сумма ряда имеет вид:

Поэтому

Разностью двух рядов и называют ряд Отсюда как следствие теорем 2.3 и 2.4 вытекает, что разность двух сходящихся рядов является сходящимся рядом. При этом если 5 — сумма ряда — суммы рядов и соответственно, то Ясно, что

Пример 2.3. Докажем, что сумма сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом.

Доказательство проводим от противного. Пусть ряд сходится, а ряд расходится. Допустим, что ряд сходится. Тогда — сходится как разность двух сходящихся рядов, что противоречит условию. Противоречие возникло из предположения, что ряд сходится, значит, такое предположение ложно. Итак, ряд расходится.

Исходя из этого примера, легко показать, что если разность сходится, а один из рядов или расходится, то и другой ряд также расходится.

Заметим, что разность двух расходящихся рядов может сходиться.

Пример 2.4. Ряды

расходятся, так как их общие члены не стремятся к нулю. Но ряд сходится.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)