Главная > Ряды (Математический анализ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Поскольку сложение бесконечного множества чисел не определено, то надо выяснить смысл суммы бесконечного ряда. Для этого поставим в соответствие ряду бесконечную последовательность чисел где Мы будем называть число частичной суммой ряда Очевидно, что и потому

Определение 1.2. Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, т. е. если существует Значение этого предела называется суммой ряда Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, ряд называется расходящимся.

Будем условно писать если (соответственно если

В случае, когда числовой ряд имеет сумму, будем иногда обозначать ее тем же символом что и сам ряд.

Пример 1.3. Исследуем на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию, т. е.

Решение. Для этого ряда:

Если то выполняется равенство а потому

Значит, при исследуемая прогрессия сходится и ее сумма равна

Если , то а потому и

В этом случае последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, т. е. ряд (1.1) расходится. Этот ряд расходится и при . В этом случае , а при Наконец, ряд (1.1) расходится и при так как частичными суммами ряда являются:

Последовательность а, где не имеет предела, а это и значит, что ряд расходится.

Пример 1.4. Докажем, что ряд:

где расходится.

Решение. Для этого ряда Так как все члены этой суммы не меньше чем а она состоит из членов, то Но при имеем , значит,

Расходимость ряда (1.2) доказана.

Пример 1.5. Докажем, что ряд:

сходится, и найдем его сумму.

Решение. Пользуясь известным тождеством находим, что

Так как

то ряд (1.3) сходится и его сумма равна 1.

Замечание. Рассмотрение примеров может создать иллюзию, что и в общем случае исследование сходимости ряда можно провести таким же методом. В действительности это не так. Лишь в редких случаях (см. также упражнение 9) удается получить выражение для содержащее ограниченное число слагаемых, и непосредственно найти Обычно используются различные признаки сходимости. Этот материал излагается во второй главе.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru