2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Поскольку сложение бесконечного множества чисел не определено, то надо выяснить смысл суммы бесконечного ряда. Для этого поставим в соответствие ряду бесконечную последовательность чисел где Мы будем называть число частичной суммой ряда Очевидно, что и потому

Определение 1.2. Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, т. е. если существует Значение этого предела называется суммой ряда Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, ряд называется расходящимся.

Будем условно писать если (соответственно если

В случае, когда числовой ряд имеет сумму, будем иногда обозначать ее тем же символом что и сам ряд.

Пример 1.3. Исследуем на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию, т. е.

Решение. Для этого ряда:

Если то выполняется равенство а потому

Значит, при исследуемая прогрессия сходится и ее сумма равна

Если , то а потому и

В этом случае последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, т. е. ряд (1.1) расходится. Этот ряд расходится и при . В этом случае , а при Наконец, ряд (1.1) расходится и при так как частичными суммами ряда являются:

Последовательность а, где не имеет предела, а это и значит, что ряд расходится.

Пример 1.4. Докажем, что ряд:

где расходится.

Решение. Для этого ряда Так как все члены этой суммы не меньше чем а она состоит из членов, то Но при имеем , значит,

Расходимость ряда (1.2) доказана.

Пример 1.5. Докажем, что ряд:

сходится, и найдем его сумму.

Решение. Пользуясь известным тождеством находим, что

Так как

то ряд (1.3) сходится и его сумма равна 1.

Замечание. Рассмотрение примеров может создать иллюзию, что и в общем случае исследование сходимости ряда можно провести таким же методом. В действительности это не так. Лишь в редких случаях (см. также упражнение 9) удается получить выражение для содержащее ограниченное число слагаемых, и непосредственно найти Обычно используются различные признаки сходимости. Этот материал излагается во второй главе.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)