§ 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

1. Показательная функция в комплексной области.

В главе I было доказано, что в действительной области справедливо разложение

Положим по определению, что для комплексных чисел

Так как

то ряд (16.1) абсолютно сходится для всех По теореме 15.3 его можно почленно дифференцировать. Поэтому

Итак, формула является справедливой и в комплексной области.

Докажем, что в комплексной области остается верной и формула

(теорема сложения для показательной функции).

В самом деле, так как ряд (16.1) абсолютно сходится при всех значениях то можно применить теорему об умножении абсолютно сходящихся рядов (см. теорему 8.4). Получаем, что

Из доказанной теоремы следует, что и потому Значит, функция ни при каком значении не обращается в нуль. В самом деле, если бы имело место равенство то мы получили бы, что