§ 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ

1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.

Чтобы исследовать вопрос о сходимости рядов Фурье к разлагаемым функциям, нам понадобится формула для частичных сумм ряда Фурье, т. е. ряда

Заменим в сумме

коэффициенты их выражениями (21.1). Мы получим, что

Но сумма, стоящая под знаком интеграла, — геометрическая прогрессия со знаменателем По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

(мы разделили числитель и знаменатель на По формуле Эйлера это выражение равно

Функция имеет период Предполагая, что и периодическая с периодом пределы интегрирования в формуле (21.3) можно заменить на Сделаем теперь подстановку

(в первом слагаемом сделана подстановка ).

Нам понадобится в дальнейшем формула

Чтобы доказать ее, заметим, что

Проинтегрируем обе части равенства от до и примем во внимание, что если

Так как функция — четная, то

Равенство (21.5) доказано.