Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИРассмотрим теперь ряды, членами которых являются не числа, а функции. Определение 3.1. Пусть функции заданы на одном и том же множестве X. Назовем функциональным рядом с общим членом выражение
Если заменять в этом выражении переменную любым числом из X, то получим числовой ряд:
Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях аргументов и расходиться при других значениях. Например, как мы знаем, ряд
сходится, если и расходится, если Определение 3.2. Множество значений аргумента х, при которых сходится функциональный ряд называется областью сходимости этого ряда. Таким образом, каждому значению из области сходимости ряда соответствует число — сумма данного ряда при Тем самым в области сходимости ряда определена функция называемая суммой этого ряда. Частичные суммы ряда будем обозначать а его остаток обозначим Таким образом, в области сходимости имеем:
Чаще всего используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические. 1. Степенные ряды1. Степенные ряды — это ряды вида:
Таким образом, степенной ряд является частным случаем функционального ряда, где имеет вид:
Частичная сумма степенного ряда является многочленом. Поэтому вычисление ее значения сводится к арифметическим операциям над значениями аргументов, числом и коэффициентами ряда. При степенной ряд принимает вид:
Из произвольного степенного ряда можно получить ряд типа (3.2), сделав замену Поэтому ясно, что если ряд (3.2) сходится в области X, то ряд (3.1) сходится в области вида:
2. Тригонометрические ряды2. Тригонометрические ряды — это функциональные ряды вида:
где — постоянные числа, причем При получаем тригонометрический ряд в форме
Из общего тригонометрического ряда с помощью замены получаем ряд вида (3.4). Отсюда следует, что если X — область сходимости ряда (3.4), то ряд (3.3) сходится в области
Вопросы для самоконтроля(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|