§ 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ

1. Коэффициенты Фурье.

Пусть система функций ортогональна на отрезке причем все функции этой системы ограничены в совокупности по модулю некоторым числом М: Возьмем абсолютно сходящийся ряд и образуем функциональный ряд Так как для любого имеем и ряд условиям сходится, то ряд по признаку Вейерштрасса абсолютно и равномерно сходится на отрезке к некоторой функции

Выразим через коэффициенты Для этого умножим обе части равенства (19.1) на функцию

Так как функция ограничена на отрезке ряд в правой части равенства (19.2) равномерно сходится, и поэтому полученное равенство можно почленно проинтегрировать по отрезку

Это равенство можно переписать в виде:

В силу ортогональности системы для всех отличных от имеем Поэтому все члены суммы (19.3), кроме соответствующего обращаются в нуль, и значит, Отсюда получаем, что

Если система функций не только ортогональна, но и нормирована, то и формула (19.4) принимает вид:

(сравните с формулой для координат вектора). Заменяя скалярное произведение интегралами, запишем формулу (19.5) в виде:

(предоставляем читателю записать формулу для в случае, когда система функций не нормирована).

Пусть система ортонормирована, а функции имеют вид:

причем ряды абсолютно сходятся. Тогда:

причем оба ряда в правой части равенства абсолютно сходятся при любом х. По теореме об умножении абсолютно сходящихся рядов отсюда вытекает, что

причем члены ряда можно располагать в любом порядке.

Поскольку ряд абсолютно сходится (см. теорему 8.4), а модули произведений при любом х и любых и

ограничены числом ряд в (19.6) равномерно сходится по признаку Вейерштрасса, и его можно почленно интегрировать по отрезку Записывая интегралы в виде скалярных произведений, получаем, что

Так как если то получаем равенство

В частности,

Эта формула является аналогом формулы квадрата длины вектора.

Выше мы вывели формулы для коэффициентов ряда через его сумму. При этом предполагалось, что ряд абсолютно и равномерно сходится к функции Если задана некоторая функция , то заранее неизвестно, является ли она суммой такого ряда. Тем не менее для любой кусочно непрерывной функции и любой ортогональной на системы функций можно формально определить коэффициенты

И построить ряд

Определение 19.1. Числа называются коэффициентами Фурье функции по ортогональной системе функций , а ряд — рядом Фурье этой функции по заданной системе.

В общем случае мы не можем утверждать, что ряд Фурье данной функции сходится к ней. Вопрос о сходимости ряда Фурье к разлагаемой функции решается на основе изучения свойств ортонормированиой системы и разлагаемой функции. Мы изучим ниже этот вопрос для тригонометрической системы функций.