Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. Примеры исследования рядов на сходимость.Рассмотрим дальнейшие примеры на все признаки сходимости. Пример 6.6. Исследуем сходимость ряда:
Решение. Общий член ряда Заметим, что
Но ряд с общим членом Пример 6.7. Исследуем сходимость ряда:
Решение. Общий член ряда
Необходимое условие сходимости ряда выполняется, но ряд расходится. Действительно,
Ряд с общим членом Замечание. Мы использовали неравенство
Пример 6.8. Исследуем сходимость ряда:
Решение.
Предел существует и отличен от нуля. Поскольку гармонический ряд расходится, то на основании второй теоремы сравнения заданный ряд также расходится. Пример 6.9. Оценим остаток
Решение. Все члены ряда:
начиная со второго, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии
Поэтому остаток
Следовательно, суммы Пример 6.10. Исследуем сходимость ряда:
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда Ряд сходится. Заметим, что мы доказали также соотношение
(общий член сходящегося ряда стремится к нулю). Пример 6.11. Исследуем сходимость ряда:
Решение. Как и в предыдущем примере, воспользуемся признаком Даламбера:
При
каждого Пример 6.12. Исследуем сходимость ряда:
Решение. Общий член ряда
Значит, ряд сходится. Отсюда следует, что, в частности,
Пример 6.13. Докажем сходимость ряда Решение. Признаки Даламбера и Коши здесь не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Члены ряда положительны и монотонно убывают. Рассмотрим функцию При
Подстановка
Поскольку очевидно, что следовательно, и ряд сходятся. Для оценки остатка воспользуемся формулой (6.2)
Из нее следует, что
Имеем:
Точно так же получаем:
По таблице логарифмов находим, что Пример 6.14. Сколько членов ряда Решение. Оценим величину
Так как
то
Поэтому нам нужно выбрать такое значение
Так как Вопросы для самоконтроля(см. скан) Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|