Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1982. - 160 с.

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
§ 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ
§ 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА
1. Ряд Тейлора.
2. Разложение функции у = ln(1 + х).
3. Разложение функции у = arctg х.
4. Разложение в степенной ряд функции у = ех.
5. Разложение в степенной ряд функций y = sin x и y = cos x.
6. Разложение функции y = (1 + x)^а, где |x| < 1 и a — любое число.
7. Разложение других элементарных функций.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
3. Интегральный признак сходимости Коши.
4. Примеры исследования рядов на сходимость.
§ 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.
§ 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
2. Абсолютно сходящиеся ряды.
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
4. Свойства условно сходящихся рядов.
§ 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
§ 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
2. Чебышевское расстояние между функциями.
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности.
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.
§ 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
1. Почленное интегрирование функциональных рядов.
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов.
§ 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1. Функции комплексного переменного.
2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.
ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости.
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.
§ 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области.
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области.
3. Единственность разложения функции в степенной ряд.
§ 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1. Показательная функция в комплексной области.
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера.
§ 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ
1. Вычисление значений функций и интегралов.
2. Вычисление пределов.
3. Метод последовательных приближений.
ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
2. Скалярное произведение функций.
3. Ортонормированные системы функций.
§ 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.
§ 20. ЛЕММА РИМАНА
1. Кусочно гладкие функции.
2. Лемма Римана.
§ 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье.
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье.
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Ответы к упражнениям

Ряды (Математический анализ)

Оглавление