ВВЕДЕНИЕ

В школьном курсе алгебры и начал анализа обычно рассматривают суммы, состоящие из конечного числа слагаемых. Единственным исключением является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т. е.

где . В курсе математического анализа изучаются суммы бесконечного множества слагаемых, или, как их называют, бесконечные ряды, которые являются действенным средством изучения функций и сильным вычислительным аппаратом, позволяющим находить с заданной точностью значения функций, вычислять приближенные значения интегралов и решать многие другие прикладные задачи.

Первоначально математики считали, что свойства бесконечных рядов аналогичны свойствам конечных сумм, и, не задумываясь, переставляли слагаемые, почленно дифференцировали и интегрировали бесконечные ряды, состоящие из функций, умножали один ряд на другой, так же, как перемножают многочлены, и т. д. Но потом выяснилось, что столь беззаботное обращение с бесконечными рядами может привести к ошибочным результатам (см. примеры 8.9 и 8.10), и потому возникла необходимость в построении строгой теории бесконечных рядов, основными задачами которой являются:

1) определение понятия суммы бесконечной последовательности слагаемых;

2) установление признаков, по которым можно судить, имеет ли данный ряд сумму;

3) выделение классов рядов, с которыми можно обращаться как с конечными суммами (например, переставлять члены ряда, почленно дифференцировать и интегрировать ряды, состоящие из функций, и т. д.);

4) выведение формул, позволяющих представить заданные функции в виде сумм рядов, состоящих из сравнительно простых функций;

5) изучение рядов, состоящих не только из действительных, но и из комплексных чисел.

Решению этих задач и посвящен курс «Теория рядов».