§ 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

1. Функции комплексного переменного.

Пусть — некоторое множество комплексных чисел, и пусть каждому поставлено в соответствие комплексное число до, т. е. пусть задано отображение множества в множество С комплексных чисел. Тогда говорят, что на задана функция комплексного переменного .

Пример 13.1. Функция задана на всем множестве С. Например, числу соответствует число

Числа и до можно записать в виде Задание числа равносильно заданию пары действительных чисел а задание числа до пары действительных чисел Значит, функции от . Таким образом, задание одной функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций от двух действительных переменных

Пример 13.2. Так как то функция равносильна паре функций

Определим для функций комплексного переменного понятия предела, непрерывности и дифференцируемости.

Определение 13.1. Число называется пределом функции когда стремится к если Это означает, что

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке если

Справедливы следующие утверждения:

а) Функция комплексного переменного не может иметь двух различных пределов, когда

б) Если то существует окрестность точки в которой функция ограничена.

Остаются в силе и теоремы о пределах суммы, произведения и частного. Из них следует, в частности, что любая целая рациональная функция

непрерывна при всех значениях а дробно-рациональная функция

непрерывна при всех для которых знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство непрерывности линейной функции основано на определении непрерывности «на языке приращений»: функция непрерывна в точке если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . В данном случае и потому из следует, что . Далее непрерывность многочлена и дробнорациональной функции устанавливается на основании теорем о пределе произведения, суммы и частного.