4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье.

Пусть функция имеет период и четна. Тогда ее ряд Фурье имеет вид:

где

В самом деле, Так как функция четна, нечетна, то произведение нечетно, а

потому интеграл равен нулю. Далее,

Так как функция четны, то и функция четна, а тогда:

Точно так же доказывается, что разложение в ряд Фурье нечетной функции, имеющей период таково:

где

Для четных функций с периодом эти формулы принимают следующий вид:

где

Соответственно, для нечетных функций

где

Отметим, что ряд Фурье точках сходится к значениям и а ряд Фурье (21.14) сходится в этих точках к значению 0.