ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Разложение функций в степенные ряды уже рассматривалось в главе I. Мы видели, что для этой цели удобно использовать почленное интегрирование и дифференцирование. В этой главе, специально посвященной степенным рядам, будет выяснено, при каких условиях допустимы эти операции. Исследование степенных рядов целесообразно вести сразу в комплексной области, поскольку почти все утверждения, касающиеся степенных рядов в действительной области, являются частными случаями получаемых общих утверждений. Сначала исследуем вопрос об области сходимости степенных рядов.

§ 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА

1. Теорема Абеля.

Определение 14.1. Выражение вида где — комплексные числа, называется степенным рядом в комплексной области с центром в точке

Подстановка сводит такой ряд к частному случаю рядов вида (с центром в точке ). Это позволяет нам формулировать и доказывать все теоремы о степенных рядах для такого частного случая.

Теорема 14.1 (Абеля). Если ряд сходится в некоторой точке то он абсолютно сходится при любом таком, что

Доказательство. Так как ряд сходится, то Поэтому последовательность ограничена, т. е. существует такое что для всех Возьмем теперь любое такое, что Тогда где Ряд

положительными Членами сходится как геометрическая прогрессия, знаменатель которой меньше 1. Значит, сходится ряд а потому абсолютно сходится.

Следствие. Если ряд расходится в точке то он расходится во всех точках таких, что Доказывается от противного.