§ 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

1. Теорема Лейбница.

Перейдем теперь к изучению рядов с членами произвольного знака, или, как говорят, знакопеременных рядов. Сначала рассмотрим знакочередующиеся ряды, т. е. ряды

Рис. 2

у которых знаки соседних членов противоположны. Если положить то такой ряд записывается при следующим образом:

где все Если же то знакочередующийся ряд имеет вид:

Имеет место следующий признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов:

Теорема 8.1 (Лейбница). Если модули членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то этот ряд сходится. Модуль остатка такого ряда не превосходит модуля первого члена остатка ряда и имеет тот же знак, что этот член (иными словами, ).

В частности, сумма ряда положительна, если и отрицательна, если

Доказательство. Будем для определенности считать, что т. е. что ряд имеет вид (8.1). Изобразим частичные суммы ряда (8.1) на числовой прямой (рис. 2). Из условия теоремы видно, что каждая следующая частичная сумма заключена между двумя предыдущими, а потому в системе отрезков

каждый следующий содержится в предыдущем.

При этом и потому длины этих отрезков стремятся к нулю. Но тогда есть лишь одно число, принадлежащее этим отрезкам, причем отрезки стягиваются к этому числу Отсюда следует, что что ряд сходится к числу

Одновременно мы доказала, что при любом выполняются неравенства Но тогда Это значит, что для любого имеем причем знаки совпадают.

Случай, когда сводится к рассмотренному, если вынести минус за скобки.

Пример 8.1. Ряд:

сходится при любом так как причем

Пример 8.2. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?

Решение. Рассматриваемый ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница. Следовательно, ряд сходится, а модуль разности суммы ряда и частичной суммы не превышает модуля первого отброшенного члена. Запишем последовательно значения пока не превысим числа 1000:

Следовательно, для вычисления суммы ряда с точностью до 0,01 достаточно вычислить т. е. ограничиться суммой первых четырех членов. При этом знак погрешности совпадает со знаком Таким образом, дает приближенное значение суммы ряда с избытком, не превышающим

Точно так же для получения ответа с точностью до 0,001 можно ограничиться суммой первых шести членов ряда. При этом получаем приближенное значение с избытком, не превышающим

Пример 8.3. Докажем, что знакочередующийся ряд:

расходится, и выясним, почему здесь не применима теорема Лейбница о знакочередующихся рядах.

Решение. Четная частичная сумма может быть записана в виде:

Таким образом, равна удвоенной частичной сумме номера для гармонического ряда. Гармонический ряд, как известно, расходится. Следовательно, Необходимый признак сходимости для рассматриваемого ряда, очевидно, выполнен. В частности,

Следовательно,

Итак, для рассматриваемого ряда предел частичных сумм равен — ряд расходится.

Теорема Лейбница здесь не применима, так как модуль общего члена стремится к нулю не монотонно. Действительно,

поскольку, как легко проверить,

Этот пример показывает, что монотонное стремление к нулю модуля общего члена знакочередующегося ряда является существенным условием теоремы Лейбница.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)