2. Скалярное произведение функций.

В аналитической геометрии мы строили разложение произвольных векторов по системе

попарно ортогональных нормированных векторов При этом коэффициенты вычислялись по формулам Длина вектора а выражается через его координаты равенством

скалярное произведение векторов равно:

Чтобы использовать такой же «геометрический» язык для функций, надо определить для них сначала понятие скалярного произведения. Мы будем рассматривать функции, принимающие не только действительные, но и комплексные значения.

Определение 18.1. Скалярное произведение двух функций заданных на отрезке определяется формулой

Здесь и далее мы рассматриваем лишь кусочно непрерывные функции (см. с. 135). Так как произведение двух таких функций тоже кусочно непрерывная функция, то для любых двух таких функций скалярное произведение определено.

Это скалярное произведение обладает теми же свойствами, что и скалярное произведение векторов:

а) Для любой функции имеем если функция непрерывна на отрезке то для всех х этого отрезка.

В самом деле, и потому

Если а интеграл от непрерывной неотрицательной функции может быть равен нулю лишь в случае, когда эта функция равна нулю. Значит, для всех х из отрезка и потому на этом отрезке.

б) Для любых двух функций выполняется равенство

В самом деле, и потому

Отметим, что если функции и принимают действительные значения, то и потому

в) Для любых функций и чисел выполняется равенство

В самом деле, по свойствам определенного интеграла