5. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример 21.1. Разложим в ряд Фурье функцию имеющую период и заданную на выражением (рис. 6).

Решение. Данная функция является четной. В самом деле, на интервале имеем в силу периодичности. Поэтому разложение в ряд Фурье имеет вид

Рис. 6

(21.8), причем коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (21.9)

Имеем:

Далее, используя формулы 120 и 93 Приложения I к «Интегральному исчислению», получаем:

(мы воспользовались тем, что .

Значит, искомое разложение имеет вид:

На рисунке 7 изображены графики первых трех частичных сумм ряда (21.16). Мы видим, как они приближаются к графику функции

Замечание 1. В примере 19.1 было получено разложение в ряд Фурье функции, имеющей период и заданной на промежутке выражением Это разложение отлично от полученного в рассматриваемом случае. Дело в том, что разлагаемые функции совпадают на и отличны друг от друга на . А именно функция примера 19.1 при принимает значения (поскольку в этом случае а на функция задана выражением Функция же примера 21.1 при принимает значение

Замечание 2. Тот же ответ (21.16) получился бы, если бы требовалось получить разложение функции на отрезке .

При частных значениях х из этого разложения получаем любопытные соотношения. Если положить то, поскольку

Рис. 7 (см. скан)

имеем:

и потому

Если же положить принять во внимание, что

Рис. 8

получаем:

и потому

Подчеркнем, что при тех значениях х, которые не принадлежат промежутку сумма ряда (21.16) равна не а функции, полученной путем периодического продолжения с промежутка Эта функция на [я принимает значение Поэтому, например, если в ряд (21.16) подставить вместо х значение , то получим не

Пример 21.2. Разложим в ряд Фурье функцию имеющую период и заданную на выражением х (рис. 8).

Решение. Поскольку то данная функция является нечетной, и потому ее разложение в ряд Фурье имеет вид (21.10), причем ее коэффициенты выражаются следующей формулой

Используя формулу 93 Приложения I к «Интегральному исчислению», получаем:

Значит,

Если в (21.19) положить то правая часть ряда обратится в нуль. Поскольку в точке функция имеет разрыв (см. рис. 8), то в соответствии с теоремой 21.1 сумма ряда Фурье должна равняться

Так как то в согласии с упомянутой теоремой.

Пример 21.3. Разложим в ряд Фурье функцию имеющую период и заданную на выражением

Решение. Искомое разложение сразу получается из разложений, полученных в предыдущих двух примерах:

Предоставляем читателю найти этот ответ непосредственным вычислением коэффициентов Фурье по формулам (19.12) и (19.14).

Пример 21.4. Разложим в ряд Фурье функцию имеющую период и заданную на следующим образом:

График этой функции изображен на рисунке 9.

Решение. Так как данная функция задана различными выражениями на участках то при вычислении ее коэффициентов Фурье надо разбить промежутки интегрирования в формулах (19.12) — (19.14) на указанные участки (то обстоятельство, что получаются интегралы не по отрезкам, а по полуоткрытым промежуткам, роли не играет, так как интеграл функции не изменяется от изменения ее значения в одной точке).

Итак, имеем:

Рис. 9.

Значит,

Пример 21.5. Разложим в ряд Фурье функцию имеющую период 6 и заданную на выражением

Решение. В данном случае период равен 21, где Так как заданная функция нечетна, то по формулам (21.14) и (21. 15) получаем, что

где

Значит

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)