§ 20. ЛЕММА РИМАНА

1. Кусочно гладкие функции.

Прежде всего напомним определение кусочно непрерывной функции. Функция , заданная на называется кусочно непрерывной, если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков:

таких, что функция непрерывна во всех внутренних точках и имеет конечные пределы:

Периодическая функция называется кусочно непрерывной, если она кусочно непрерывна на отрезке, длина которого равна периоду.

Будем обозначать через следующую функцию:

Таким образом, все функции непрерывны на соответствующих отрезках Отметим также, что функция , кусочно непрерывная на интегрируема на этом отрезке и

Аналогично определяется кусочно непрерывная функция на интервале или полуоткрытом промежутке. Сохраняется формула для вычисления определенного интеграла, поскольку величина правой части написанного выражения не зависит от значений функции в точках

Существуют примеры непрерывных функций, ряды Фурье которых расходятся на бесконечном множестве точек. Поэтому, чтобы гарантировать сходимость ряда Фурье по тригонометрической системе функций, надо наложить на разлагаемую функцию более сильные ограничительные требования, чем кусочная непрерывность, и тем более — непрерывность.

Определение 20.1. Функция имеющая период 21, называется кусочно гладкой, если существует такое разбиение отрезка на отрезки что каждая из функций имеет на отрезке непрерывную производную второго порядка (в точках речь идет об односторонних производных).

Пример 20.1. Функция

является кусочно гладкой. Здесь отрезок разбивается на отрезки При этом

Рассмотрим функцию Она определена, непрерывна, имеет непрерывные производные на всей числовой оси (существенна лишь непрерывность и ее производных на каком-либо интервале, содержащем и при совпадает с Отсюда и следует, что на являются сужением на

Разумеется, при этом сохраняется непрерывность. Откуда

Мы рассмотрели случай Точно так же рассматриваются случаи

Проверка кусочной гладкости функции в этом примере не вызывала затруднений потому, что для каждого мы могли сразу указать нужную функцию заданную на интервале, содержащем непрерывную вместе с производными (это легко усматривалось из ее аналитического выражения) и совпадающую с на отрезке . В более сложных случаях такая простая проверка кусочной гладкости не удается, и тогда может быть полезно следующее предложение: если существует конечный предел то он равен , таким образом, непрерывна в точке

В самом деле,

Но по теореме Лагранжа найдется такое с, что и потому

Аналогично доказывается, что если существует то он равен