§ 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

1. Почленное интегрирование функциональных рядов.

При рассмотрении вопроса о почленном интегрировании функциональных рядов окажется полезной следующая лемма.

Лемма 12.1. Пусть на отрезке функции непрерывны. Тогда имеет место неравенство

Доказательство. Известно, что

Но для всех выполняется неравенство По теореме об оценке определенного интеграла получаем,

Лемма доказана.

Теорема 12.1. Пусть последовательность состоит из функций, непрерывных на отрезке пусть

она равномерно сходится к функции (непрерывной на по теореме 11.3). Тогда имеет место равенство

Доказательство. Из леммы 12.1 следует, что

По условию теоремы и потому

А это и означает, что .

Теорема 12.2. Если члены ряда непрерывны на отрезке и этот ряд равномерно сходится на этом отрезке к функции то

(короче говоря, равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать).

Доказательство. Из того, что функции непрерывны на , следует, что и частичные суммы данного ряда непрерывны на . При этом по условию последовательность функций равномерно сходится на Значит, по теореме 12.1 имеем:

Но конечные суммы функций можно интегрировать почленно, и потому

Мы доказали, что

а это и означает, что

Пример 12.1. Покажем, что ряд:

равномерно сходится на отрезке , где — любое положительное число, меньшее 1, и найдем сумму ряда:

Решение. Члены ряда (12.1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов сходящегося положительного числового ряда:

где Следовательно, на заданном отрезке ряд (12.1) по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.

Исходный ряд (12.1) при является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем Поэтому его сумма т. е.

В силу равномерной сходимости ряда (12.1) при его можно почленно интегрировать. Интегрирование проведем в пределах от 0 до х, где (всегда можно найти такое чтобы и поэтому . Имеем:

Найдем интеграл, стоящий справа:

Следовательно, при