Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ1. Почленное интегрирование функциональных рядов.При рассмотрении вопроса о почленном интегрировании функциональных рядов окажется полезной следующая лемма. Лемма 12.1. Пусть на отрезке
Доказательство. Известно, что
Но для всех
Лемма доказана. Теорема 12.1. Пусть последовательность она равномерно сходится к функции
Доказательство. Из леммы 12.1 следует, что
По условию теоремы
А это и означает, что Теорема 12.2. Если члены ряда
(короче говоря, равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать). Доказательство. Из того, что функции
Но конечные суммы функций можно интегрировать почленно, и потому
Мы доказали, что
а это и означает, что
Пример 12.1. Покажем, что ряд:
равномерно сходится на отрезке
Решение. Члены ряда (12.1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов сходящегося положительного числового ряда:
где Исходный ряд (12.1) при
В силу равномерной сходимости ряда (12.1) при
Найдем интеграл, стоящий справа:
Следовательно, при
|
1 |
Оглавление
|