2. Абсолютно сходящиеся ряды.
Перейдем теперь к изучению произвольных знакопеременных рядов. С каждым таким рядом 
связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд 
Имеет место следующая теорема:
Теорема 8.2. Если сходится ряд 
то сходится и ряд 
Доказательство. Введем еще два ряда. Положим:
и
Ясно, что для любого 
выполняются равенства 
и 
для любого 
имеем:
Так как члены рядов 
неотрицательны и ряд 
сходится, причем для всех 
имеем 
то, по первому признаку сравнения, ряды 
и 
сходятся. Обозначим их суммы 
Но тогда сходится и ряд 
причем его сумма равна 
Теорема доказана.
Отметим, что сумма ряда 
равна 
Введем следующее определение.
Определение 8.1. Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
составленный из модулей его членов. Если же ряд 
сходится, а ряд 
расходится, то первый ряд называют условно сходящимся.
Из теоремы 8.2 вытекает, что всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. При этом имеет место неравенство
В самом деле, 
Отсюда в силу теоремы о модуле предела вытекает неравенство (8.3).
Такая же оценка верна и для остатков абсолютно сходящихся рядов:
Пример 8.4. Ряд:
абсолютно сходится при 
и условно сходится при 
. В самом деле, если 
то ряд
составленный из модулей членов ряда (8.4), сходится. Если же 
то ряд (8.5) расходится, хотя сам ряд (8.4) сходится по признаку Лейбница (см. пример 8.1). Отметим, что при 
ряд (8.4) расходится, так как его члены не стремятся к нулю.
