3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.

Определение 13.3. Пусть их — последовательность функций комплексного переменного, определенных в области Выражение называется функциональным рядом. Если при существует где — частичная сумма ряда то говорят, что функциональный ряд сходится в точке и его сумма равна Множество точек, где сходится ряд называется его областью сходимости.

В области сходимости функциональный ряд задает новую функцию комплексного переменного — сумму этого ряда:

Определение 13.4. Последовательность функций комплексного переменного равномерно сходится в области к функции если где положено Ряд называется равномерно сходящимся в к функции если к равномерно сходится в последовательность частичных сумм этого ряда.

Остаются в силе теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а также признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости.

Доказательства всех утверждений этого параграфа проводятся так же, как и в действительной области.

Мы не будем сейчас рассматривать понятие интеграла функции комплексного переменного и потому не останавливаемся на утверждении о почленном интегрировании рядов в комплексной области, а также на связанном с ним утверждении о почленном дифференцировании таких рядов.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)