3. Ортонормированные системы функций.

Два вектора в трехмерном евклидовом пространстве ортогональны в том и только в том случае, когда их скалярное произведение равно нулю. Поэтому введем следующие определения:

Определение 18.2. Функции и заданные на отрезке называются ортогональными на этом отрезке, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если

Определение 18.3. Число называют нормой функции и обозначают то функцию называют нормированной на

Таким образом, норма функции — аналог длины вектора, а нормированная функция — аналог орта. Для нормированных функций

Определение 18.4. Система функций (конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции этой системы попарно ортогональны. Если при этом для всех функции нормированы, то система функций называется нормированной.

Ортогональная и нормированная система функций обычно называется сокращенно ортонормированной системой функций.

Итак, система функций ортонормирована, если для любых тип, где имеем и для любого имеем

Эти условия можно записать так:

Если система функций не является нормированной, то ее можно нормировать, заменив каждую функцию функцией

В самом деле,

Пример 18.1. Система функций ортогональна, но не нормирована на отрезке

В самом деле, если то

Далее,

Отсюда видно, что для нормирования функций данной системы надо разделить каждую из них на

Точно так же доказывается, что система функций ортогональна на любом отрезке вида

18.2. Система функций ортогональна на отрезке (и на любом отрезке вида

Для доказательства заметим, что по формулам Эйлера

Если то по примеру 18.1 интегралы от всех слагаемых по отрезку равны нулю, а потому при

Точно так же доказывается, что при имеем:

а также что при любых тип выполняется равенство

Далее, как известно,

Поэтому нормированная система функций имеет вид:

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)