ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

В § 3 были введены понятия функционального ряда и последовательности его частичных сумм.

Сумма такого ряда определена на множестве чисел для которых сходятся числовые ряды и является на этом множестве функцией от Рассмотрим прежде всего несколько примеров на отыскание области сходимости функционального ряда.

Пример 10.1. Определим область сходимости (абсолютной и условной) функционального ряда:

Решение. При каждом значении имеем обычный числовой ряд. Применяем к нему признак Даламбера, как это делалось при исследовании абсолютной сходимости. Вводим величину . В нашем примере при

Отыскиваем предел

Для тех значений х, при которых рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Для значений х, при которых исследуемый ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, для которых подлежат специальному рассмотрению,

так же как и точки, для которых нельзя было составить величину . В данном примере это точки Сразу отметим, что при ряд состоит из одних нулей и, очевидно, является абсолютно сходящимся, а при ряд не определен.

Решим неравенство

Это неравенство равносильно следующему: . Но — расстояние от точки до точки — расстояние от точки до Так как начало координат равноудалено от точек А и Б, то неравенство выполняется, если точка М лежит на положительной полуоси, т. е. если При имеем и потому

а поэтому ряд расходится.

При имеем и потому эту точку рассматриваем отдельно. Получаем ряд:

который сходится условно. Итак, областью сходимости ряда является числовой луч При исследуемый ряд сходится условно, а в остальных точках луча — абсолютно.

Заметим, что для отыскания области сходимости этого ряда можно было применить признак Коши (радикальный). В этом случае вводится последовательность и отыскивается предел (если он существует). Далее решается неравенство На множестве, являющемся его решением, ряд сходится абсолютно. Там, где ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, в которых требуют отдельного рассмотрения.

Пример 10.2. Найдем область сходимости ряда

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

Далее

Здесь требует пояснения лишь случай, когда Тогда

Из выражения для следует, что и при и при исследуемый ряд сходится абсолютно. Заметим, что при признак Даламбера не применим, но в этом случае ряд состоит из нулей и его абсолютная сходимость тривиальна. Далее при но в этих точках общий член ряда по абсолютной величине равен — и потому ряд расходится.

Итак, во всех точках числовой оси, кроме рассматриваемый ряд сходится и притом абсолютно.

Пример 10.3. Найдем область сходимости ряда

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

В силу периодичности тангенса решение неравенства достаточно провести лишь для отрезка

В силу монотонности тангенса на этом отрезке получаем: Область абсолютной сходимости является объединением интервалов Легко проверить, что на левых концах этих интервалов исследуемый ряд сходится условно, а на правых — расходится (проверьте это!).

Пример 10.4. Найдем область сходимости ряда:

Решение. Множество, на котором ряд определен, задается условием , где т. е.

Для всех х, для которых ряд определен, начиная с некоторого значения аргумент принадлежит интервалу Для этих значений имеем:

Применим к ряду и ряду вторую теорему сравнения для положительных рядов. Так как то

Этот предел конечен, поэтому ряд сходится вместе с геометрической прогрессией Следовательно, рассматриваемый ряд абсолютно сходится во всех точках, где он определен.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)