2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.

Перейдем теперь к доказательству теоремы, дающей достаточные условия для того, чтобы ряд Фурье функции имеющей период сходился к этой функции.

Теорема 21.1. Пусть функция имеет период и является кусочно гладкой. Тогда ее ряд Фурье сходится в каждой точке числовой оси к значению

Так как в точках, где функция непрерывна, то из этой теоремы следует, что ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится к ней во всех точках непрерывности этой функции. Отметим, что все встречающиеся при решении практических задач функции с периодом удовлетворяют условиям теоремы.

Доказательство. Умножим обе части равенства (21.5) на и вычтем из соответствующих частей равенства (21.4), где х заменено на как не зависит от это выражение можно внести под знак интеграла по ):

Чтобы доказать равенство

осталось показать, что интеграл в правой части (21.6) стремится к нулю, когда Это утверждение будет следовать из леммы Римана, если мы покажем, что функции

и

удовлетворяют условию этой леммы, так как тогда им будет удовлетворять и функция

Итак, надо доказать, что отрезок можно разбить на конечное число частей так, чтобы на каждой из них функции имели непрерывную производную. Мы проведем доказательство для функции поскольку для оно проводится аналогично.

По условию отрезок можно разбить на конечное число частей, на которых функция имеет непрерывную производную второго порядка. На тех частях отрезка, которые не содержат точку имеет непрерывную производную второго порядка и функция Поэтому все свелось к доказательству того, что существуют пределы (как было

показано выше, тогда существует и односторонняя производная причем непрерывна в точке

Но по правилу Лопиталя:

Далее:

и потому по правилу Лопиталя:

Тем самым существование обоих пределов, а значит, и равенство (21.7) доказаны.