2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости.

Теорема Абеля позволяет найти область сходимости степенного ряда Обозначим через X множество всех неотрицательных чисел для которых сходится числовой ряд имеющий неотрицательные члены, а через — множество неотрицательных чисел для которых этот ряд расходится. Множество X непусто, так как

Если пусто, то ряд сходится для всех значений а тогда ряд абсолютно сходится для всех — для любого найдется такое что и потому для всех

Пусть теперь не пусто. Тогда X расположено слева от .

В самом деле, если то ряд сходится, а тогда поскольку в противном случае сходился бы ряд и мы имели бы, что Так как, кроме того, любое неотрицательное число принадлежит либо X, либо то множества X и разделяются единственным числом (иначе точки разделяющего промежутка не принадлежали бы ни X, ни

Мы докажем сейчас, что для любого такого, что ряд сходится, а для любого такого, что этот ряд расходится.

В самом деле, пусть Выберем число такое, что Так как то ряд сходится, а в силу сходится и ряд абсолютно сходится. Пусть теперь Выберем такое что Если бы ряд сходился, то по теореме Абеля сходился бы ряд и мы имели бы , что невозможно, так как Значит, ряд расходится. Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 14.2. Либо степенной ряд сходится для всех либо существует такое неотрицательное число что этот

ряд абсолютно сходится внутри круга и расходится вне этого круга (т. е. при ); что же касается точек лежащих на границе круга (т. е. таких, что то ряд может сходиться в одних из них и расходиться в других.

Если то ряд сходится лишь при Для рядов вида область заменяется на

Итак, возможны следующие три случая:

а) Ряд сходится для всех значений

Пример:

б) Ряд лишь при

Пример:

в) Существует число такое, что ряд сходится при и расходится при

Пример: (здесь ).

Число называется радиусом сходимости ряда (в случае а) полагают а область — кругом сходимости этого ряда. Если ряды рассматривают лишь для действительных значений то областью сходимости является пересечение круга сходимости с действительной осью, т. е. промежуток (интервал сходимости).

Пример 14.1. Найдем область сходимости ряда

Решение. Для этого ряда:

Применим признак Даламбера, как это делалось для аналогичной цели в примерах § 10. Имеем:

Ряд абсолютно сходится при и расходится при поэтому абсолютная сходимость имеет место, если т. е. если При этот ряд расходится. Следовательно, Исследуем ряд на концах интервала сходимости.

Пусть теперь Тогда получаем расходящийся ряд

Наконец, при получаем знакочередующийся ряд который сходится по теореме Лейбница. Область сходимости ряда — промежуток

Пример 14.2. Найдем область сходимости степенного ряда

Решение. Используем признак Даламбера. Имеем:

Таким образом, исследуемый ряд абсолютно сходится при всех значениях Заметим, что рассматривался степенной ряд вида где

Пример 14.3. Найдем область сходимости степенного ряда:

Решение. Здесь

Тогда:

Так как по правилу Лопиталя

то

Ряд абсолютно сходится при т. е. в круге и расходится при Таким образом, На

границе круга сходимости , следовательно,

При общий член ряда в каждой точке окружности стремится к нулю. Итак, рассматриваемый ряд сходится только при

Пример 14.4. Найдем область сходимости степенного ряда:

Решение. Используем признак Даламбера. Имеем:

Ряд абсолютно сходится при , т. е. если и расходится, если . Следовательно, радиус сходимости .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости Если то

Так как стремится при к числу возрастая, то и потому Следовательно, при общий член ряда не стремится к нулю, и ряд расходится. Итак, областью сходимости является интервал

Замечание. Во всех рассмотренных примерах для отыскания области сходимости степенного ряда применялся признак Даламбера, так поступают чаще всего. Может случиться, однако, что предел не существует, и тогда признак Даламбера

не применим. Известна общая формула для радиуса сходимости степенного ряда (формула Коши — Адамара). Эта формула ввиду сложности применения используется редко.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)