ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

1. Введение.

Чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд по степеням необходима ее бесконечная дифференцируемость в точке а. Например, функцию нельзя разложить в ряде по степеням х, так как она недифференцируема в точке Кроме того, функции непериодичны, и потому неудобно строить по ним разложение периодических функций.

В этом и следующих параграфах будут рассмотрены разложения периодических функций в ряды по гармоническим колебаниям, т. е. по функциям вида . Такие функции имеют период Если функция, которую нужно разложить, имеет период то естественно потребовать, чтобы и гармоники имели тот же период, т. е. чтобы было кратно . В этом случае и потому Итак, мы будем рассматривать разложения функций, имеющих период , в ряды вида:

Эти ряды принимают наиболее простую форму, если

Общий случай сводится к случаю подстановкой

Если функция имеет период , то функция имеет период

Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай, когда указывая изменения, необходимые для перехода к общему случаю,

Разложение (18.2) можно записать иначе, воспользовавшись формулой . Если положить получаем:

Еще одну запись этого разложения получаем, используя формулы Эйлера:

Если обозначить через через а — через то это разложение можно представить в виде ряда, бесконечного в двух направлениях:

Для такого ряда частичные суммы определяются следующим образом:

Обратно, если задан ряд вида (18.4) и , где — число, комплексно сопряженное числу то, заменяя в нем на и группируя члены, получим ряд вида (18.3), где От этого ряда легко перейти к ряду вида (18.2), учитывая, что

где

Далее рассмотрим следующие вопросы:

1. Какие периодические функции можно представить в виде сумм тригонометрических рядов?

2. Как вычислить коэффициенты тригонометрического ряда для данной функции?

Для этого необходимо ввести ряд понятий.