§ 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.
Многие свойства сходящихся рядов с положительными членами аналогичны свойствам конечных сумм. Например, сумма таких рядов не меняется при перестановке их членов. Пусть даны два ряда 
. Говорят, что эти два ряда получаются друг из друга перестановкой членов, если существует такое взаимно-однозначное отображение 
множества 
натуральных чисел на себя, что 
(если все члены ряда 
различны, то это означает, что множества 
совпадают).
Теорема 7.1. Если ряд 
с положительными членами сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него перестановкой членов, причем сумма ряда не меняется при перестановке членов.
Доказательство. Пусть 
Возьмем частичную сумму 
ряда (В): К- Тогда:
и потому
Обозначим через 
наибольшее из натуральных чисел 
Ясно, что
и потому 
Но так как, по условию, ряд 
с положительными членами сходится, то 
где 
— сумма этого ряда. Поэтому для всех 
имеем 
Значит, частичные суммы ряда 
имеющего положительные члены, ограничены сверху, и потому он сходится. При этом сумма а этого ряда не превосходит сумму 
исходного ряда.
Докажем теперь, что 
. Заметим, что ряд 
получается, в свою очередь, из ряда 
перестановкой членов, обратной перестановке 
Поэтому должно выполняться и неравенство 
. Но из 
и 
а получаем, что 
