Главная > Ряды (Математический анализ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.

Многие свойства сходящихся рядов с положительными членами аналогичны свойствам конечных сумм. Например, сумма таких рядов не меняется при перестановке их членов. Пусть даны два ряда . Говорят, что эти два ряда получаются друг из друга перестановкой членов, если существует такое взаимно-однозначное отображение множества натуральных чисел на себя, что (если все члены ряда различны, то это означает, что множества совпадают).

Теорема 7.1. Если ряд с положительными членами сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него перестановкой членов, причем сумма ряда не меняется при перестановке членов.

Доказательство. Пусть Возьмем частичную сумму ряда (В): К- Тогда:

и потому

Обозначим через наибольшее из натуральных чисел Ясно, что

и потому Но так как, по условию, ряд с положительными членами сходится, то где — сумма этого ряда. Поэтому для всех имеем Значит, частичные суммы ряда имеющего положительные члены, ограничены сверху, и потому он сходится. При этом сумма а этого ряда не превосходит сумму исходного ряда.

Докажем теперь, что . Заметим, что ряд получается, в свою очередь, из ряда перестановкой членов, обратной перестановке Поэтому должно выполняться и неравенство . Но из и а получаем, что

1
Оглавление
email@scask.ru