7. Разложение других элементарных функций.

Мы доказали следующие разложения функции в степенные ряды:

С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формул I—VI можно разлагать различные элементарные функции.

Пример 5.3. Разложим по степеням функцию

Решение. Для этой цели воспользуемся формулой суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии

Имеем:

Это разложение справедливо при условии Решая неравенство, найдем:

Итак, найденное разложение имеет место при

Пример 5.4. Разложим по степеням х функцию

Решение. Имеем:

Множество, на котором справедливо разложение, определяется системой неравенств

Решением этой системы является интервал

Пример 5.5. Разложим функцию по степеням

Решение. Имеем:

Разложение имеет место при Решая это неравенство, получаем:

Разложение представляет функцию на интервале

Пример 5.6. Разложим функцию по степеням

Решение. Функцию записываем в виде Используя формулу I, справедливую здесь при т. е. на промежутке получаем:

Пример 5.7. Разложим по степеням функцию Записываем функцию в форме

Используя формулу III, получаем:

Так как формула III справедлива при всех значениях аргумента и величина также определена при любых х, то найденное разложение имеет место на множестве

Пример 5.8. Разложим функцию по степеням

Представим рассматриваемую функцию в форме

и снова воспользуемся формулой III. Имеем:

Пример 5.9. Разложим в ряд по степеням х функцию

Представляем в форме а затем используем формулу V.

Получаем:

при

Пример 5.10. Разложим в степенной ряд по степеням функцию

Имеем:

Теперь воспользуемся формулой VI, где заменяется на

где допустимые значения x определяются условием

Получаем:

Пример 5.11. Разложим в ряд по степеням х функцию

Воспользуемся соотношением

Откуда:

К подынтегральной функции применим формулу VI. Тогда:

где , а следовательно,

Применяя найденное разложение, получаем:

Теперь применим необоснованный пока прием: интеграл от суммы ряда заменим рядом, составленным из интегралов от отдельных членов исходного функционального ряда (такая замена носит название почленного интегрирования функционального ряда и допустима для степенного ряда по любому отрезку, лежащему строго внутри интервала сходимости, см. гл. IV). Получаем:

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)