6. Разложение функции y = (1 + x)^а, где |x| < 1 и a — любое число.

Для этой функции имеем:

В силу формулы (4.2) при получаем, что остаточный член формулы Тейлора для имеет вид:

т. е.

Так как или и потому Кроме того, так как то а значит,

Далее, так как то не превосходит большего из чисел Обозначим это число А. Тогда имеем для оценку где

Поэтому для доказательства сходимости ряда Тейлора функции к этой функции при достаточно показать, что при имеем

Отметим, что

Так как то найдется такое что При достаточно большом имеем:

т. е.

Как было показано в лемме 5.1, отсюда следует, что

Это и показывает, что функция при равна сумме своего ряда Тейлора (при ). Поскольку

то этот ряд Тейлора имеет вид:

Отметим, что если натуральное число, то все члены разложения, для которых содержат разность и потому равны нулю. В этом случае имеем:

Это формула бинома Ньютона.

Выведем разложение в степенной ряд функции Для этого достаточно положить в формуле

Но при

Поэтому