2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.

Другое свойство рядов с неотрицательными членами касается группировки слагаемых. Как было показано в § 2, если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из него любой

группировкой слагаемых. Для рядов с неотрицательными членами справедливо и обратное утверждение:

Теорема 7.2. Если члены ряда неотрицательны и ряд, полученный из него некоторой группировкой членов, сходится к сумме то данный ряд сходится и имеет ту же сумму

Доказательство. Мы видели в § 2, что частичные суммы ряда, полученного группировкой членов, имеют вид где — частичные суммы данного ряда. По условию, существует и потому все Но для любого найдется такое что и потому Значит, последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, и потому этот ряд сходится, причем

Следующее свойство касается умножения рядов. Для умножения двух конечных сумм достаточно умножить каждое слагаемое первой суммы на каждое слагаемое второй суммы и сложить результаты. Произведения слагаемых можно расположить в виде следующей таблицы:

Таким образом,

При умножении аналогичным образом двух рядов получаем бесконечную таблицу:

Числа, стоящие в этой таблице, можно складывать, например, последовательно суммируя числа каждого «уголка», т. е. последующей схеме:

Возможны и иные схемы суммирования этих чисел. Справедлива следующая теорема:

Теорема 7.3. Если ряды сходятся к соответственно, а их члены неотрицательны, то, суммируя в любом порядке числа таблицы (7.2), получаем сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм данных рядов.

Кратко говоря, сходящиеся ряды с неотрицательными членами можно перемножить так же, конечные суммы.

Доказательство. Выполним сложение по схеме (7.3). Тогда частичная сумма ряда (7.3) будет равна произведению частичных сумм рядов и Переходя к пределу при получаем, что

Таким образом, ряд, полученный группировкой членов ряда:

сходится и имеет сумму Тогда ту же сумму имеет и ряд (7.4).

Поскольку сумма ряда с положительными членами не зависит от порядка слагаемых, то ту же сумму имеет ряд, полученный при любом расположении слагаемых.

При умножении рядов часто применяют иные схемы группировки слагаемых. Например, если умножают друг на друга два степенных ряда то группируют вместе слагаемые, имеющие одну и ту же степень:

Полагая в получаем ряд:

который называют произведением рядов по Коши.

Пример 7.1. Возведем в квадрат по Коши ряд и найдем сумму полученного ряда (напомним, по определению).

Решение. Применяя выражение (7.6), найдем:

Из предыдущего (см. § 5) известно, что сумма исходного ряда равна . Дествительно , при получаем указанный результат. Точно так же сумма квадрата данного ряда равна в соответствии с теоремой об умножении рядов.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)