Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.Другое свойство рядов с неотрицательными членами касается группировки слагаемых. Как было показано в § 2, если ряд группировкой слагаемых. Для рядов с неотрицательными членами справедливо и обратное утверждение: Теорема 7.2. Если члены ряда Доказательство. Мы видели в § 2, что частичные суммы ряда, полученного группировкой членов, имеют вид
Следующее свойство касается умножения рядов. Для умножения двух конечных сумм
Таким образом,
При умножении аналогичным образом двух рядов
Числа, стоящие в этой таблице, можно складывать, например, последовательно суммируя числа каждого «уголка», т. е. последующей схеме:
Возможны и иные схемы суммирования этих чисел. Справедлива следующая теорема: Теорема 7.3. Если ряды Кратко говоря, сходящиеся ряды с неотрицательными членами можно перемножить так же, Доказательство. Выполним сложение по схеме (7.3). Тогда Таким образом, ряд, полученный группировкой членов ряда:
сходится и имеет сумму Поскольку сумма ряда с положительными членами не зависит от порядка слагаемых, то ту же сумму При умножении рядов часто применяют иные схемы группировки слагаемых. Например, если умножают друг на друга два степенных ряда
Полагая в
который называют произведением рядов Пример 7.1. Возведем в квадрат по Коши ряд Решение. Применяя выражение (7.6), найдем:
Из предыдущего (см. § 5) известно, что сумма исходного ряда равна Вопросы для самоконтроля(см. скан) Упражнения(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|