Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.Другое свойство рядов с неотрицательными членами касается группировки слагаемых. Как было показано в § 2, если ряд группировкой слагаемых. Для рядов с неотрицательными членами справедливо и обратное утверждение: Теорема 7.2. Если члены ряда Доказательство. Мы видели в § 2, что частичные суммы ряда, полученного группировкой членов, имеют вид
Следующее свойство касается умножения рядов. Для умножения двух конечных сумм
Таким образом,
При умножении аналогичным образом двух рядов
Числа, стоящие в этой таблице, можно складывать, например, последовательно суммируя числа каждого «уголка», т. е. последующей схеме:
Возможны и иные схемы суммирования этих чисел. Справедлива следующая теорема: Теорема 7.3. Если ряды Кратко говоря, сходящиеся ряды с неотрицательными членами можно перемножить так же, Доказательство. Выполним сложение по схеме (7.3). Тогда Таким образом, ряд, полученный группировкой членов ряда:
сходится и имеет сумму Поскольку сумма ряда с положительными членами не зависит от порядка слагаемых, то ту же сумму При умножении рядов часто применяют иные схемы группировки слагаемых. Например, если умножают друг на друга два степенных ряда
Полагая в
который называют произведением рядов Пример 7.1. Возведем в квадрат по Коши ряд Решение. Применяя выражение (7.6), найдем:
Из предыдущего (см. § 5) известно, что сумма исходного ряда равна Вопросы для самоконтроля(см. скан) Упражнения(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|