§ 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

1. Введение.

Важным является вопрос о взаимоотношении между свойствами членов функционального ряда и свойствами его суммы:

Рассмотрение простых примеров показывает, что эти свойства могут существенно отличаться. Например, все функции могут быть непрерывными, а функция — разрывной, последовательность интегралов от функции может не сходиться к интегралу от функции

Пример 11.1. Функции непрерывны на отрезке [0; 1]. При этом

Поэтому функция равна нулю на и равна 1 при Эта функция разрывна.

Пример 11.2. Пусть

Тогда для любого имеем (для это следует из того, что все при а для — из того, что все Поэтому и Но

Мы видим, что, хотя

Поэтому необходимо выделить класс функциональных рядов, для которых имеют место теоремы, аналогичные теоремам о конечных суммах: непрерывность суммы ряда, состоящего из непрерывных функций, возможность почленного интегрирования и дифференцирования и т. д.