3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.

Теорема 14.3 (о равномерной сходимости степенных рядов). Степенной ряд равномерно и абсолютно сходится в любом круге вида целиком леотщем внутри круга сходимости.

Доказательство. Пусть тогда , и потому ряд с неотрицательными членами сходится. Но тогда при имеем и по признаку Вейерштрасса ряд равномерно и абсолютно сходится в круге

Для рядов в действительной области круг надо заменить отрезком таким, что

Из доказанной теоремы вытекает, что сумма степенного ряда непрерывна внутри круга сходимости, поскольку функции непрерывны, а любая точка круга сходимости лежит в одном из кругов где . В частности, для действительной области сумма степенного ряда непрерывна в любой точке интервала сходимости

Доказанное утверждение относительно непрерывности суммы степенного ряда справедливо и для рядов более общего вида:

Важную роль в теории рядов играет вопрос о радиусе сходимости ряда Этот ряд составлен из производных от членов ряда Справедлива следующая теорема.

Теорема 14.4. Радиусы сходимости рядов совпадают.

Доказательство. Пусть Выберем такое число что Тогда в точке ряд сходится. Так как то сходится и ряд с неотрицательными членами, а тогда при сходится и ряд Мы

доказали, что сходится внутри круга сходимости ряда т. е. что

Докажем теперь, что Пусть Выберем такое что Так как ряд сходится, то последовательность ограничена некоторым числом Но

где

Ряд сходится по признаку Даламбера:

Значит, и ряд сходится.

Итак, ряд 2 сходится при и потому Из неравенств получаем

Из теорем 14.3 и 14.4 получаем такое следствие.

Следствие. Ряд равномерно сходится в любом круге целиком лежащем внутри круга сходимости ряда

Из этого следствия, в свою очередь, вытекает, что сумма ряда непрерывна в круге

Пусть — произвольное натуральное число. Применяя теорему 14.4 к ряду раз, найдем, что радиус сходимости ряда составленного из производных порядка членов ряда также равен Отсюда следует, что ряд равномерно сходится в круге где и его сумма непрерывна при

Пример 14.5. Найдем область сходимости рядов:

Решение. Ряд б) составлен из производных от членов ряда а), ряд в) составлен из производных от членов ряда б). Значит, для всех этих степенных рядов радиус сходимости один и тот же. Ряд в) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным х. Он сходится при и расходится при Таким образом,

Выясним сходимость рядов на концах общего интервала сходимости

При ряд а) сходится абсолютно (проверьте это самостоятельно). Следовательно, областью сходимости ряда а) является отрезок

Ряд б) условно сходится при и расходится при Его областью сходимости является промежуток

Наконец, ряд в) расходится при его общий член при этом не стремится к нулю. Таким образом, для ряда в) областью сходимости является интервал

Пример показывает, что хотя для ряда, составленного из производных от членов степенного ряда, радиус сходимости остается прежним, поведение на концах интервала сходимости (или на границе круга сходимости) может быть у этих рядов различным.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)