§ 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области.

В § 12 были доказаны общие теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функциональных рядов в действительной области. Используя равномерную сходимость степенных рядов, рассмотренную в предыдущем параграфе, легко сделать заключение о почленном интегрировании и почленном дифференцировании степенных рядов в действительной области.

Теорема 15.1. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, целиком лежащему в интервале сходимости (т. е. по любому отрезку такому, что Доказательство. Выберем такое что Ряд 2 спхп равномерно сходится на а следовательно и на и потому его можно почленно интегрировать.

Из доказанной теоремы вытекает, что внутри промежутка сходимости справедливо равенство

где

При это непосредственно следует из теоремы 12.2, где вместо рассматривается отрезок . При интегрирование проводится по отрезку а затем обе части равенства умножаются на —1.

Рассмотрим теперь вопрос о почленном дифференцировании степенных рядов.

Теорема 15.2. Степенной ряд в действительной области можно почленно дифференцировать в любой точке, лежащей внутри интервала сходимости (иными словами, если то

Доказательство. Пусть Выберем такое что На отрезке ряд равномер сходится по следствию из теорем 14.3 и 14.4, и потому ряд

молено почленно дифференцировать в любой точке этого отрезка, в том числе и в точке

Проведенное доказательство не годится для случая с комплексным переменным, но теорема остается справедливой.

Доказательство этого факта будет дано в следующем пункте. К ряду, полученному в результате почленного дифференцирования степенного ряда, можно вновь применить теорему 15.2. Таким образом, легко устанавливается, что степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала (круга) сходимости любое число раз.

Пример 15.1. Найдем область сходимости степенного ряда

и его сумму в интервале сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд, полученный в результате почленного дифференцирования исходного ряда:

Начиная со второго члена, этот ряд представляет ссбой геометрическую прогрессию со знаменателем Следовательно, ряд сходится при и расходится при Таким образом, этот ряд, а следовательно, и исходный имеют радиус сходимости На концах интервала сходимости при исходный ряд сходится по теореме Лейбница. Итак, его область сходимости — отрезок Обозначим через сумму основного ряда. Тогда в интервале сходимости по теореме о почленном дифференцировании

Далее, пользуясь указанием, сделанным после теоремы 15.1, найдем:

Пример 15.2. Применяя почленное дифференцирование, найдем сумму степенного ряда в интервале сходимости

Решение. Этот ряд представляет собой результат двукратного почленного дифференцирования ряда:

Следовательно, сумма исходного ряда равна:

Пример 15.3. Применяя дифференцирование, разложим функцию в ряд по степеням х.

Решение. Дифференцируя функцию, находим:

При условии т. е. при получаем разложение

Функция является первообразной для другой первообразной будет сумма ряда:

Две первообразные для одной и той же функции могут отличаться только на постоянную, а потому

Для определения постоянной С положим Откуда Искомый ряд принимает вид:

Интересно отметить, что хотя интервалом сходимости этого ряда является сумма ряда совпадает с только при Дело в том, что непрерывна на имеет разрыв при а именно:

Вычислим значение суммы на всем интервале сходимости так обе эти функции являются первообразными для и совпадают при . В силу непрерывности имеем:

На интервале и отличаются на некоторую постоянную. Тогда:

Для отыскания значения перейдем к пределу при

Имеем:

а в силу непрерывности

Тогда Итак, при

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)