2. Чебышевское расстояние между функциями.

Пусть функции и ограничены на множестве X. Тогда на этом множестве ограничена и функция а следовательно, и функция Поэтому существует число которое обозначим

Определение 11.1. Если функции ограничены на множестве X, то чебышевским расстоянием между этими функциями на X называется число:

Пример 11.3. Вычислим чебышевское расстояние между функциями на отрезке Решение. По определению расстояния имеем:

Так как функция непрерывна на , то равно ее наибольшему значению. Для отыскания величины найдем точки, в которых производная обращается в нуль, а затем сравним значения в этих точках и на концах отрезка . Корнями уравнения

на отрезке будут числа . Далее имеем:

Наибольшим из этих чисел является Это и есть искомое значение

Пример 11.4. Вычислим предел последовательности на отрезке и найдем затем чебышевское расстояние

Решение. Так как то

Тогда так как , следовательно, любое число, меньшее 1, не может быть верхней границей для на Поэтому

Из определения чебышевского расстояния вытекает, что для всех выполняется неравенство

Если функции и непрерывны на отрезке то чебышевское расстояние между ними равно наибольшему значению функций на этом отрезке.

Чебышевское расстояние между функциями обладает следующими свойствами:

1) Для любых двух ограниченных на X функций имеем причем в том и только в том случае, когда для всех .

2) Для любых двух ограниченных на X функций имеем

3) Для любых трех ограниченных на X функций имеем

Свойство 1) вытекает из того, что а потому и При этом если то для всех имеем

т. е.

Для доказательства свойства 2) достаточно заметить, что Докажем, наконец, свойство 3). Возьмем любое число . Имеем:

а потому

Значит, для всех выполняется неравенство (11.1). Оно показывает, что — одна из верхних границ для значений функции на X. Но тогда это число не меньше точной верхней грани, т. е. а потому

Свойство 4) очевидно, так как из следует, что

В математике множество, для любых элементов которого определено их расстояние обладающее свойствами 1) — 3), называют метрическим пространством. Мы доказали, что множество функций, ограниченных на множестве X, является метрическим пространством относительно чебышевского расстояния (или, как еще говорят, чебышевской метрики).