§ 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были действительные числа или функции. Рассмотрим теперь ряды с комплексными членами. Сначала определим понятие сходимости последовательности комплексных чисел. Напомним, что если изобразить комплексные числа и на плоскости, то расстояние между полученными точками равно (рис. 3). Это позволяет ввести следующее определение.

Определение 9.1. Последовательность комплексных чисел сходится к комплексному числу если числовая последовательность сходится к нулю, т. е. если

Поскольку при имеем:

то вместо можно писать:

Докажем следующее утверждение.

Лемма 9.1. Для того чтобы последовательность комплексных чисел, где сходилась к комплексному числу необходимо

Рис. 3

и достаточно, чтобы

Доказательство. Очевидно, что

Поэтому если то и

С другой стороны, из рисунка 4 видно, что

Поэтому если т. е. если

то

А это и значит, что

Понятие предела последовательности комплексных чисел обладает обычными свойствами: если предел последовательности существует, то он однозначно определен; подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел, что и вся последовательность, сходящаяся последовательность ограничена, т. е. существует такое А, что все

Отметим еще, что если то

Для доказательства достаточно заметить, что , и потому из вытекает, что

Рис. 4

Так же как и в случае, когда элементы ряда действительные числа, определяются понятия бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей, доказываются свойства таких последовательностей, а также остаются справедливыми и теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Рассмотрим теперь ряды с комплексными членами. Как и в случае рядов с действительными членами назовем ряд с комплексными членами сходящимся, если существует предел последовательности частичных сумм этого ряда. Значение этого предела называется суммой ряда.

Из леммы 9.1 следует, что ряд где сходится в том и только в том случае, когда сходятся ряды составленные из действительных и мнимых частей членов этого ряда. При этом имеет место равенство где Поскольку вопрос о сходимости ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами, теоремы о сложении рядов, об умножении членов ряда на число и т. д. остаются справедливыми и в комплексном случае. Справедлив и необходимый признак сходимости: для того чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю, т. е. чтобы

Остаются в силе и теоремы об одновременной сходимости ряда и его остатков и о стремлении к нулю остатка сходящегося ряда.

Понятие абсолютной сходимости определяется для рядов с комплексными членами следующим образом:

Определение 9.2. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из модулей его членов.

Легко проверить, что это определение равносильно следующему:

Ряд , где называется абсолютно сходящимся, если сходятся ряды .

Для абсолютно сходящихся рядов остаются в силе теоремы о перестановке членов ряда и об умножении рядов. Доказательства этих теорем такие же, как и для рядов с действительными членами. Сохраняет силу и оценка

Для доказательства этого неравенства сначала на основании свойств модуля комплексного числа устанавливается оценка

затем устремляется к и используется теорема о пределе модуля.

Пример 9.1. Найдем предел последовательности, общий член которой

Решение. . В данном случае

причем Поэтому

Пример 9.2. Найдем предел последовательности

Решение. Вычислим Воспользуемся тем, что модуль произведения равен произведению модулей. Следовательно,

Так как

Это означает, что , таким образом, по определению предела получаем:

Пример 9.3. Напишем сумму первых членов ряда:

и, исходя из определения суммы ряда, установим, сходится ли этот ряд.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос о сходимости ряда, запишем в следующем виде:

Далее

(см. пример 1.5), поэтому

и

Ряд сходится, и его сумма равна

Пример 9.4. Установим характер сходимости рядов:

Решение. Ряды и сходятся абсолютно, а потому в случае а) ряд с комплексными членами сходится абсолютно.

Ряд сходится условно, и, таким образом, в случае б) ряд с комплексными членами также сходится условно.

Вопросы для самоконтроля

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)