3. Интегральный признак сходимости Коши.

Во многих случаях члены рассматриваемых рядов не только положительны, но и монотонно стремятся к нулю. Для таких рядов вопрос о сходимости часто решается путем сравнения ряда с несобственным интегралом.

Напомним, что по определению несобственный интеграл сходится, если существует предел и равен в этом случае значению этого предела. Если функция всюду имеет первообразную то , где

Таким образом, в случае существования первообразной для функции исследование сходимости эквивалентно исследованию предела при этом если предел существует и конечен, то интеграл сходится, а если предел равен или не существует, то интеграл расходится.

Если несобственный интеграл сходится, то для любой последовательности стремящейся к имеем:

В случае, когда для сходимости интеграла достаточно существования хотя бы одной последовательности такой, что Это вытекает из того, что при функция монотонно возрастает.

В частности, при сходимость интеграла равносильна сходимости ряда:

В самом деле, частичные суммы этого ряда имеют вид:

а для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы существовал предел

Сформулируем признак сходимости рядов с монотонно убывающими положительными членами.

Теорема 6.6 (интегральный признак Коши). Пусть функция задана на луче непрерывна, положительна, монотонно убывает и стремится к нулю, когда Обозначим через Тогда ряд сходится в том и только том случае, когда сходится несобственный интеграл

Доказательство. Так как функция монотонно убывает на отрезке то на этом отрезке выполняется неравенство Отсюда

следует, что

Если сходится интеграл то сходится и ряд (6.1), а тогда в силу признака сравнения рядов сходится ряда, получаемый из данного ряда отбрасыванием слагаемого Значит, данный ряд сходится. При этом имеет место неравенство где сумма данного ряда. Обратно, пусть сходится ряд По признаку сравнения сходится и ряд (6.1), т. е. интеграл При этом

Мы доказали теорему, получив при этом следующее неравенство:

В случае сходимости ряда эту формулу можно использовать и для его остатка Получаем:

где, напомним,

Пример 6.5. Докажем, что ряд расходится при и сходится при

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы 6.6, причем Значит, ряд сходится или расходится одновременно с интегралом

Таким образом, для исследования сходимости ряда достаточно рассмотреть предел первообразной для функции

при

Если то и потому

В этом случае интеграл, а тем самым и ряд расходятся. Если же то и тогда . В этом случае интеграл, а следовательно, и ряд сходятся. Наконец, при а так как то интеграл, а следовательно, и ряд расходятся.